Question

A temperatura de uma chapa plana é dada por T (x,y) = x 2 + y² , sendo T em oC , x e y em cm, e P = (xo,yo). Partindo da posição P = (2, 1) : a) Qual a variação da temperatura partindo de P, na direção paralela ao eixo dos X? b) E a variação da temperatura partindo de P, na direção paralela ao eixo dos Y? c) E qual a derivada direcional de f(x,y), partindo da posição P = (2, 1), na direção de um vetor

Answer 1

Olá


A) Usando os conceitos de derivadas parciais, teremos aqui que descobrir a taxa de variação em relação a X, ou seja, basta derivar parcialmente em relação a x, logo teremos:

$T(x,y)=x^{2}+y^{2} \\ \\ 2x$

Derivando em relação a x, basta substituir o ponto, teremos então: 2.(2)+0.1 = 4

Resposta: 4.


B) Mesmo esquema da questão anterior, só que agora derivando parcialmente em relação a Y, vejamos: 

$T(x,y)=x^{2}+y^{2} \\ \\ 2y$


Substituindo o ponto:  2.0+2.1 =2


Resposta: 2.


C) Primeiro precisamos achar o vetor unitário, vejamos:

$|u|= \sqrt{3^{2}+4^{2}} =5 \\ \\ \frac{3}{5} i- \frac{4}{5} j$


Após fazer isso, basta calcular o produto escalar entre o vetor gradiente calculado indiretamente aqui (2xi+2yj) com o vetor unitário encontrado,  no ponto pedido, vejamos:

$(2.2i+2.1j).(\frac{3}{5} i- \frac{4}{5} j)= \frac{4}{5}$

Resposta: 4/5.


Espero ter ajudado.