Question

No plano cartesiano Oxy a circunferência c tem centro no ponto p (-5, 1) e é tangente a reta t de equação 4x-3y-2=0 em um ponto P.

a) Escreva uma equação para a circunferência C.
b) Determine as coordenadas do ponto P.

Answer 1

<isso a baixo e só uma explicaçao para vc entender>

A reta t é perpendicular à reta que passa no ponto A, certo?? 
Descobrindo a reta s(P é o ponto de tangência, comum às duas retas) 
4x-3y-2=0 
y =4x/3 -2/3 ← Reta t 

Prosseguindo, 

a =4/3 
Seja m o coeficiente angular da reta s. Então: 
a.m =-1 → m =-3/4 

Como a reta passa em A: 
Y-Ya =m(X-Xa) 
y-1 =(-3/4)(x+5) 

y =-3x/4 -11/4 ← Reta s =AP, que passa em A e P e é perpendicular à reta t 

Se fizermos a intersecção de s com t, obtemos P. De fato: 
-3x/4 -11/4 = 4x/3 -2/3 
Desenvolvendo os cálculos, chegamos em 
x =-1 e y=-2 
Logo, P(-1,-2) 

a)P(-1,-2) 

Descoberto o ponto P, se calcularmos a distância entre A e P, acharemos o RAIO da circunferência. Assim: 
R =√[(Xa-Xp)²+(Ya-Yp)²] 
=√[(-5+1)²+(1+2)²] =√[16+9] =√25 
R = 5 

Assim, a equação da circunferência vale: 
(x-a)²+(y-b)² = R² ← Equação da circunferência na forma reduzida 

b) (x+5)²+(y-1)² = 25 

SE Q é o ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox, então: 
4x-3y-2=0 ← Equação de t na forma geral 
4x-3(0)-2=0 ← Todo ponto pertencente ao eixo OX tem ordenada NULA. 
4x =2 
x =1/2 
Logo, Q(1/2 , 0) 

A área do triângulo APQ: 
A(-5,1) 
P(-1,-2) 
Q(1/2,0) 

S =(1/2).|Xa..Xp..Xq...Xa| 
............|Ya..Yp..Yq..Ya| 

=(1/2)|-5..-1..1/2..-5| 
........|.1...-2...0....1| 
=(1/2)[+10+0+1/2+1+1-0] 
=(1/2)[12+1/2] 
S = 25/4 

c) Área APQ = 25/4 

Entendido? 

Até!