Question

Considere a figura abaixo:
ABCD é um retângulo com base de 14cm e altura de 6cm. Seus cantos serão recortados de modo que os segmentos QD = NB = X
cm e MB = DP = 2X cm. O valor de que fará com que a área do quadrilátero MNPQ seja máxima é:

Answer 1

Olá

Perceba que a área do quadrilátero MNPQ será igual a área do retângulo menos as áreas dos 4 triângulos: QDP, NPC, BMN e AQM.

Vamos calcular essas áreas:

ΔQDP: $\frac{x.2x}{2} = x^2$

ΔNPC

Como CD = 14 e DP = 2x, então PC = 14 - 2x

Da mesma forma, como BC = 6 e BN = x, então CN = 6 - x

Logo, a área é igual a $\frac{(14-2x)(6-x)}{2} = \frac{84-26x+2x^2}{2} = x^2-13x+42$

A área do ΔBMN é igual a do ΔQDP, assim como a área do ΔAQM é igual a do ΔQDP.

A área do retângulo é igual a base vezes a altura, ou seja, 14.6 = 84cm^2

Logo, a área do quadrilátero MNPQ é igual a:

$84 - 2(x^2+x^2-13x+42) =$
$84 - 2(2x^2-13x+42) =$
$84-4x^2+26x-84=$
$-4x^2+26x$

Daí, temos que:

$x_v = - \frac{26}{2(-4)} = \frac{13}{4}$

ou seja, quando x valer 13/4 a área será máxima.