Question

Um dos catetos de um triangulo retangulo diminui a uma taxa de 2,5cm/min, enquanto outro cresce 5 cm/min. Em certo instante, o comprimento do primeiro lado e 20 centımetros e o do segundo e 15 centımetros. Passados 2 minutos, a que taxa esta variando a area? Ela esta aumentando ou diminuindo?

Como eu vou organizar os valores na fórmula da área, e como posso descobrir a variação da área depois de dois minutos?

Answer 1

Considere o triângulo retângulo abaixo. 

Vamos supor que o lado x está diminuindo e o lado y está aumentando.

Então, como o primeiro lado diminui 2,5 cm/min, então em 2 minutos o lado possui 5 cm.

Logo, x = 20 - 5 = 15 cm.

Como o segundo lado aumenta 5 cm/min, então em 2 minutos o lado possui 10 cm.

Logo, y = 15 + 10 = 25 cm

A área de um triângulo é dada pela metade do produto da base pela altura, ou seja, 

$S = \frac{x.y}{2}$

Derivando, temos que:

$\frac{dS}{dt} = \frac{1}{2}( \frac{dx}{dt}.y + \frac{dy}{dt}.x)$

Logo, 

$\frac{dS}{dt} = \frac{1}{2}(-2,5.25 + 5.15)$
$\frac{dS}{dt} = \frac{12,5}{2}$
$\frac{dS}{dt} = 6,25$

A taxa está aumentando numa variação de 6,25 cm^2/min