Question

Números Complexos, calcule:
$i^{} + i^{2} + i^{3} +...+ i^{n} + i^{2014}$

Answer 1

Uma propriedade interessante da soma de potências de $i$ é:

A soma de quatro potências de $i$, cujos expoentes são números consecutivos é igual a zero. Exemplos:

$i+i^{2}+i^{3}+i^{4}=0\\ \\ i^{5}+i^{6}+i^{7}+i^{8}=0\\ \\ i^{1998}+i^{1999}+i^{2000}+i^{2001}=0$


Temos uma soma de $2014$ potências de $i$. Então, fazendo a divisão de $2014$ por $4$ encontramos

$2014=503 \cdot 4+2$


Então,

$i+i^{2}+i^{3}+\ldots+i^{n}+\ldots+i^{2014}\\ \\ =\underbrace{i+i^{2}+i^{3}+\ldots+i^{n}+\ldots+i^{2012}}_{0}+i^{2013}+i^{2014}\\ \\ =i^{2013}+i^{2014}$


Para calcular potências de $i$, basta tomarmos o resto da divisão do expoente por $4$:

$i^{2013}+i^{2014}\\ \\ =i^{503\,\cdot\, 4+1}+i^{503\,\cdot\, 4+2}\\ \\ =i^{1}+i^{2}\\ \\ =i+\left(-1 \right )\\ \\ =i-1\\ \\ \\ \boxed{i+i^{2}+i^{3}+\ldots+i^{n}+\ldots+i^{2014}=i-1}$