Question

Dada a matriz A = \(\begin{bmatrix} \ 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \) determinar uma matriz X de ordem 2 de modo que AX = I2

Answer 1

Olá

Temos que $A = \left[\begin{array}{ccc}2&1\\1&1\end{array}\right]$ e $I_2 = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Podemos dizer que a matriz X é da forma $X = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]$

Agora, vamos calcular o que se pede: AX = I2

$\left[\begin{array}{ccc}2&1\\1&1\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{ccc}2a+c&2b+d\\a+c&b+d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Daí, temos o seguinte sistema:

{2a + c = 1
{2b + d = 0
{a + c = 0
{b + d = 1

Da terceira equação, temos que c = -a.

Substituindo esse valor na primeira equação, temos que

2a - a = 1
a = 1

Portanto, c = -1

Da quarta equação temos que d = 1 - b

Substituindo esse valor na segunda equação, temos que:

2b + 1 - b = 0
b = -1

Portanto, d = 2

Logo, a matriz procurada é $X = \left[\begin{array}{ccc}1&-1\\-1&2\end{array}\right]$