Question

A temperatura de uma chapa plana é dada por T (x,y) = x 2 + y² , sendo T em oC , x e y em cm, e P = (xo,yo).

Partindo da posição P = (2, 1) :

a) Qual a variação da temperatura partindo de P, na direção paralela ao eixo dos X?





b) E a variação da temperatura partindo de P, na direção paralela ao eixo dos Y?





c) E qual a derivada direcional de f(x,y), partindo da posição P = (2, 1), na direção de um vetor

Answer 1

Olá,

A) Usando os conceitos de derivadas parciais, teremos aqui que descobrir a taxa de variação em relação a X, ou seja, basta derivar parcialmente em relação a x, logo teremos:

$T(x,y)=x^{2}+y^{2} \\ \\ 2x$

Derivando em relação a x, basta substituir o ponto, teremos então: 2.(2)+0.1 = 4

Resposta: 4.

B) Mesmo esquema da questão anterior, só que agora derivando parcialmente em relação a Y, vejamos: 

$T(x,y)=x^{2}+y^{2} \\ \\ 2y$

Substituindo o ponto:  2.0+2.1 =2

Resposta: 2.



C) Primeiro precisamos achar o vetor unitário, vejamos:

$|u|= \sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=5 \\ \\ \frac{3}{5} i-\frac{4}{5} j$

Após fazer isso, basta calcular o produto escalar entre o vetor gradiente calculado indiretamente aqui (2xi+2yj) com o vetor unitário encontrado,  no ponto pedido, vejamos:

$(2.2i+2.1j) .(\frac{3}{5} i-\frac{4}{5}j )=(4. \frac{3}{5} - 2. \frac{4}{5} ) \\ \\ = \frac{12}{5} - \frac{8}{5} \\ \\ = \frac{4}{5}$