Question

Equação irracional... x-6= √ 2x+12

Answer 1

Bom dia,

Equação irracional... x-6= √ 2x+12

Para ser equação irracional , no segundo membro a raiz quadrada abrange o monómio 2 x.

Quando temos a variável x debaixo de uma raiz quadrada, numa equação, temos que isolar a parte que tem √ 2x num dos membros, remetendo tudo o restante para o outro membro.

x - 6 = √ 2x  + 12

⇔ x - 6 - 12 = √ 2x 

Reduzir termos semelhantes e elevar ao quadrado cada um dos membros.

Esta última ação permite deixar de ter " x " debaixo de raiz, quadrada, neste caso.

⇔ ( x - 18 ) ²  = ( √ 2x  ) ²

⇔ x ² - 36 x  + 324 - 2 x  = 0

⇔ x ² - 38 x  + 324 = 0

temos agora uma equação do 2º grau a resolver diretamente 

Δ = ( - 38 ) ² - 4 * 1 * 324

Δ = 1444 -  1296

Δ = 148   ⇒    √Δ  =  √148   ⇔  √ ( 2 ² * 37 )  ⇔  √ 4   *  √ 37   ⇔  2 √37

Método de Bhaskara

x1 = ( 38 + 2 √37) / ( 2 * 1 )

dividindo, por 2 ,  o numerador e o denominador da fração 

x1 = 19 + √37

x2 = 19 - √37

Mas como " provocámos " uma situação não existente no equação inicial,
( elevamos ambos membros ao quadrado ), é obrigatório verificar, na equação inicial, se as raízes encontradas são ou não também suas raízes
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Verificação de x1

x1 = 19 + √37 vai substituir o " x " ;  

os cálculos de cada membro ficam nesse membro

19 + √37 - 6 = √ 2 ( 19 + √37 ) + 12

⇔ 13 + 6,08 ≈ √( 38 + 2 * 6,08)   + 12

⇔ 19,08 ≈  √50,16  + 12 

⇔ 19,08 ≈  7,08 + 12    

⇔ 19,08 ≈ 19,08     

x1 = 19 + √37   é raiz da equação original
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Verificação de x2

x2 = 19 - √37 

19 -  √37 - 6 = √ 2 ( 19 - √37 ) + 12

⇔ 13 - 6,08 ≈ √ ( 38 - 2 √37 ) + 12

⇔ 7,08 ≈ √ ( 38 - 12,16 ) + 12

⇔ 7,08 ≈ √ ( 25,84 ) + 12

⇔ 7,08 ≈ 5,08 + 12

⇔ 7,08 ≈ 17,08    é uma condição falsa que invalida a raiz x2 = 19 - √37 
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Resposta : x = 19 + √37   é  a raiz da equação original
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Se a equação for  x - 6 = √ ( 2 x + 12 ) em que ( 2 x + 12 ) estará debaixo da raiz quadrada, o raciocínio é o mesmo, só diferem os cálculos.
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Nota : sinal ( * ) é multiplicação  ;  sinal ( / ) é divisão   ;  ( ≈ )  aproximado
Espero ter ajudado.   Ensinando devidamente o que sei.
Procuro  explicar como se faz e não apenas apresentar rápidas soluções.

Esforçando-me por entregar a  Melhor  Resposta  possível.Qualquer dúvida, envie-me comentário ou mensagem. Bom estudo