Question

(15 Pontos) Geometria analítica: Encontre as coordenadas do ponto $Q$, que é simétrico ao ponto $P\left(3,-2)$ em relação ao eixo de simetria de equação

$s: 2x-3y+4=0$

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Dica: $s$ é a reta mediatriz do segmento $\overline{PQ}$.

Resposta: $Q\left(-\dfrac{25}{13},\,\dfrac{70}{13}\right)$

Answer 1

Achando a equação reduzida da reta s:

$2x-3y+4=0\\\\3y=2x+4\\\\\boxed{\boxed{y=\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}}}$
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Existe uma reta r passando por P e Q, perpendicular à s. Achando a equação dessa reta:

Sabemos que o produto entre os coeficientes de s e r deve -1 (pois s e r são perpendiculares):

$a_{s}\cdot a_{r}=-1\\\\\frac{2}{3}\cdot a_{r}=-1\\\\\boxed{a_{r}=-\frac{3}{2}}$

Achando a equação da reta r:

$y-y_{p}=a_{r}\cdot(x-x_{p})\\\\y-(-2)=-\frac{3}{2}\cdot(x-3)\\\\2(y+2)=-3(x-3)\\\\2y+4=-3x+9\\\\2y=-3x+5\\\\\boxed{\boxed{y=-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}}}$

Agora, vamos achar o ponto de interseção entre s e r, que é o ponto médio do segmento PQ:

$y=y\\\\\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}=-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}$

Multiplicando todos os membros por 6:

$4x+8=-9x+15\\4x+9x=15-8\\13x=7\\x=7/13$

Achando a coordenada y do ponto de interseção:

$y=\frac{2}{3}\cdot\frac{7}{13}+\frac{4}{3}=\frac{2}{3}(\frac{7}{13}+2)=\frac{2}{3}(\frac{7+26}{13})=\frac{2}{3}(\frac{33}{13})=\frac{22}{13}$

Logo, o ponto médio do segmento PQ é $M\left(\dfrac{7}{13},~\dfrac{22}{13}\right)$

Podemos achar as coordenadas do ponto Q:

$x_{M}=\dfrac{x_{P}+x_{Q}}{2}~\rightarrow~\dfrac{7}{13}=\dfrac{3+x_{Q}}{2}~\rightarrow~\dfrac{14}{13}-3=x_{Q}~\rightarrow~\boxed{\boxed{x_{Q}=-\dfrac{25}{13}}}\\\\\\y_{M}=\dfrac{y_{P}+y_{Q}}{2}~\rightarrow~\dfrac{22}{13}=\dfrac{-2+y_{Q}}{2}~\rightarrow~\dfrac{44}{13}+2=y_{Q}~\rightarrow~\boxed{\boxed{y_{Q}=\dfrac{70}{13}}}$