Question

9.Resolva as equações literais de incógnita x.
d)
$5x^{2} + k = x^{2} + k$
e)
$x^{2} + 2k = 0 \: para \: k > 0$
f)
$rx^{2} + (r - 1)x = 0 \: para \: r \: diferente \: de \: 0$

Answer 1

Resolver as equações literais para a variável x.

d)  $5x^2+k=x^2+k$

Isole todos os termos em x² no lado lado esquerdo:

     $5x^2-x^2=k-k\\\\ 4x^2=0\\\\ x^2=0$

     $x=0$


Conjunto solução:  S = {0}.


e)  $x^2+2k=0\qquad \mathsf{para~~}k>0$

     $x^2=-2k\qquad\mathsf{(i)}$


Vamos analisar a igualdade (i) acima. Como k é positivo, concluímos que

     $-2k<0$

ou seja, − 2k é negativo.

Por outro lado, − 2k é igual ao quadrado de x, que por sua vez não pode ser negativo (quadrados de números reais nunca são negativos). Temos um absurdo aqui.

     $x^2=-2k<0\quad\Longrightarrow\quad x^2<0\qquad\mathsf{(absurdo)}$

Logo, não existe solução em x para as condições dadas.

Conjunto solução:  S = ∅.


f)  $rx^2+(r-1)x=0\qquad\mathsf{para~~}r\ne 0.$

Como o coeficiente quadrático é r ≠ 0, temos uma equação do 2º grau na variável x, cujos coeficientes são:

     $a=r,~~b=r-1,~~c=0.$


Como o coeficiente independente de x é c = 0, podemos resolver essa equação por fatoração simples, ao invés de utilizarmos a fórmula resolutiva de Báscara. Esta daria um pouco mais de trabalho para manipular:

     $rx^2+(r-1)x=0$


Coloque x em evidência:

     $x\cdot \big[rx+(r-1)\big]=0$


O produto de dois números só é zero se algum dos fatores for zero. Logo, devemos ter

     $\begin{array}{rcl} x=0&\quad\textsf{ ou }\quad&rx+(r-1)=0\\\\ x=0&\quad\textsf{ ou }\quad&rx=-r+1\\\\ x=0&\quad\textsf{ ou }\quad&rx=1-r\\\\ x=0&\quad\textsf{ ou }\quad&x=\dfrac{1-r}{r}\\\\ x=0&\quad\textsf{ ou }\quad&x=\dfrac{1}{r}-\dfrac{r}{r}\\\\ x=0&\quad\textsf{ ou }\quad&x=\dfrac{1}{r}-1 \end{array}$

essas são as soluções.


Conjunto solução:  S = {0,  (1/r) − 1}.


Bons estudos! :-)