Question

Simplifique:
sen(9π/2)−cos(x+15π/2).sen(7π−x)
a) cosx
b) senx
c) cos^2x
d) sen^2x

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Priscila, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Pede-se o valor da seguinte expressão, que vamos chamá-la de um certo "y" apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

y = sen(9π/2) - cos(x + 15π/2)*sen(7π - x)

Veja: para facilitar, vamos logo substituir π por 180º, ficando assim:

y = sen(9*180º/2) - cos(x + 15*180º/2)*sen(7*180º - x) --- desenvolvendo, teremos:

y = sen(1.620º/2) - cos(x + 2.700º/2)*sen(1.260º - x) --- continuando, temos:
y = sen(810º) - cos(x + 1.350º)*sen(1.260º - x)

Lembre-se que cos(a+b) = cos(a).cos(b) - sen(a).sen(b); e sen(a-b) = sen(a).cos(b) - sen(b).cos(a).
Assim, a nossa expressão "y" ficará sendo:

y = sen(810º) - [cos(x).cos(1.350º) - sen(x).sen(1.350º)]*[sen(1.260º.cos(x) - sen(x).cos(1.260º)]

Agora veja isto e não esqueça mais: quando um ângulo é maior do que 360º, para sabermos a sua menor determinação, deveremos dividir esse ângulo por 360º e verificar qual é o quociente e o resto. O quociente indicará quantas voltas completas foram dadas no círculo trigonométrico, enquanto o resto indica a menor determinação desse ângulo.
Assim, teremos:

810º/360º = dá quociente igual a "2" e resto igual a 90. Isso significa que foram dadas duas voltas completas no círculo trigonométrico, e quando iniciou-se a terceira volta, parou-se no ângulo de 90º.  Logo:

o ângulo de 810º é côngruo ao ângulo de 90º

1.350º/360° = dá quociente igual a 3 e resto igual a 270º. Isso significa que foram dadas três voltas completas no círculo trigonométrico, e ao iniciar a 4ª volta parou-se no ângulo de 270º. Logo:

o ângulo de 1.350º é côngruo ao ângulo de 270º

1.260º/360º = dá quociente igual a 3 e resto igual a180. Isso significa que foram dadas três voltas completas no círculo trigonométrico e ao inicar a 4ª volta parou-se no ângulo de 180º. Logo:

o ângulo de 1.260º é côngruo ao ângulo de 180º.

Então vamos substituir na nossa expressão "y" acima:


y = sen(90º) - [cos(x).cos(270º) - sen(x).sen(270º)]*[sen(180º).cos(x) - sen(x).cos(180º)]

Agora veja que:

sen(90º) = 1
cos(270º)  = 0
sen(270º) = - 1
sen(180º) = 0
cos(180º) = -1.

Assim, fazendo as devidas substituições na nossa expressão "y", teremos:

y =  1 - [cos(x).0 - sen(x).(-1))]*[0.cos(x) - sen(x).(-1)] ---- desenvolvendo, temos:

y = 1 - [0 + sen(x)].[0 + sen(x)] --- ou apenas:
y = 1 - [sen(x).sen(x)] ---- como sen(x).sen(x) = sen²(x), teremos:
y = 1 - sen²(x) ---- mas note que 1-sen²(x) = cos²(x). Assim, teremos:

y = cos²(x) <--- Esta é a resposta. Opção "c".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.