Considere, a equação (m + 2)x² - 2mx + (m-1) = 0 na variável x em que m é um número real diferente de -2. Analise as afirmativas abaixo e classifique-as em V (verdadeira) ou F (falsa).
( ) Para todo m > 2 a equação possui conjunto solução vazio.
( ) Existem dois valores reais de m para que a equação admita raízes iguais.
( ) Na equação, se Δ > 0 então m só poderá assumir valores positivos.
Respostas
Resposta: letra D
Explicação passo-a-passo:
(Verdadeira) Para todo m>2 a equação possui conjunto solução vazio pois:
Para o conjunto ser vazio o valor de ∆ deve ser negativo
∆ = (-2m)2 – 4.(m+2) . (m-1) = 4m2 – 4(m2-m+2m-2) = -4m + 8
∆< 0
4m + 8 < 0
-4m < -8
m > 2
(Falsa) Existem dois valores reais de m para que a equação admita raízes iguais.
Para a equação possuir duas raízes reais e iguais devemos ter ∆ =0:
-4m+8 = 0
-4m = -8
m = 2
(Falsa) Na equação, se ∆>0, então m só poderá assumir valores positivos.
Calculando ∆>0
-4m+8 > 0
-4m > -8
m < 2
Existe infinitos números negativos no intervalo m < 2.
Resposta [D]
Classificando as afirmações abaixo, temos a sequência: V - F - F.
Equações do segundo grau
As equações do segundo grau são representadas por ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. A quantidade de raízes dessas equações é dada pelo valor do determinante:
Δ = b² - 4ac
Na equação dada, tem-se a = m + 2, b = -2m e c = m - 1, logo:
Δ = (-2m)² - 4·(m + 2)·(m - 1)
Δ = 4m² - 4·(m² + m - 2)
Δ = -4m + 8
(V) Para que o conjunto solução seja vazio, o determinante deve ser menor que zero:
-4m + 8 < 0
4m > 8
m > 2
(F) Para que existam uma raiz, o determinante deve ser igual a zero:
-4m + 8 = 0
4m = 8
m = 2
(F) Se Δ > 0:
-4m + 8 > 0
4m < 8
m < 2
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