Question

Calcule o limite da função quando x tende a -1, sendo y = (x² - 2x - 3) / (x + 1):

A 0
B 4
C -2
D -4
E 2

Answer 1

(x²-2x-3)/(x+1)
(x-3)×(x+1)/(x+1)
x-3

Para x->-1

-1-3
-4

Answer 2

Para casos como este é preciso substituirmos o x por - 1 para ver se o limite resulta em uma indeterminação ou não.

$\underset{x\to-1}{\ell im}~ \dfrac{x^2-2x-3}{x+1} = \dfrac{(-1)^2-2(-1)-3}{-1+1} =\dfrac{0}{0}$

Substituindo o - 1 no x, resultamos em uma indeterminação. Nesse caso, temos que "eliminar" essa indeterminação de forma a termos um resultado para esse limite. Podemos, de início, fatorar o x² - 2 x - 3. Sendo assim, usamos uma das propriedades de fatoração de um polinômio de grau 2, que diz que: a( x - x'' ) ( x - x' ). Para isso, vamos encontrar as raízes da equação por meio da soma e produto.

  • Temos que encontrar dois valores que somados resulte em ( - b / a ).
  • Esses dois valores que encontrarmos, quando multiplicados, tem que resultar em ( c / a ).

$\dfrac{-b}{a}= \dfrac{2}{1}=2 \\ \\ \\ \dfrac{c}{a}= \dfrac{-3}{1} =-3$

Se somarmos 3 + ( - 1 ) = 2, se multiplicarmos 3 . ( - 1 ) = - 3. Logo, o x' = - 1 e o x'' = 3. Substituímos os valores na propriedade,

$(x+1)(x-3)$

Essa é forma fatorada do numerador!

Portanto,

$\underset{x\to-1}{\ell im}~ \dfrac{(x+1)(x-3)}{(x+1)} \\ \\ \\ \underset{x\to-1}{\ell im}~ (x-3) \\ \\ \\ \boxed{\mathbf{ \underset{x\to-1}{\ell im}~-4}}~\checkmark$