Question

Calcule o valor de K na equação x2 - 2x + k =0 sendo A e B as suas raízes e, sendo A^{A} . B^{B} . A^{B} . B^{A} = 49:

a.K=1

b.K=7

c.K=5

d.K=4

e.K=3

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Simonecig, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Sabendo-se que as raízes da equação abaixo são "A" e "B", pede-se o valor de "k", sabendo-se que: A^(A) * B^(B) * A^(B) * B^(A) = 49.
A equação de que se falou acima é esta:

x² - 2x + k = 0 .

ii) Antes de iniciar veja que a soma e o produto das raízes de uma equação do 2º grau, da forma ax² + bx + c = 0, com raízes iguais a x' e x'', serão:

SOMA:

x' + x'' = -b/a ---- no caso da sua questão [x²-2x+k = 0], veja que o termo "b" é igual a "-2" (que é o coeficiente de "x") e o termo "a" é "1" (que é o coeficiente de x²). Assim, ficaremos com:

x' + x'' = -(-2)/1
x' + x'' = 2 ----- mas como as raízes são A e B, então ficaremos:
A + B = 2       . (I)

PRODUTO:

x'*x'' = c/a . --- no caso da sua questão [x² - 2x + k = 0] temos que "a" é igual a "1" (é o coeficiente de x²) e c = k (que é o coeficiente do termo independente). Logo:

x'*x'' = k/1
x'*x'' = k ---- mas como as raízes são A e B, então:
A*B = k       . (II)

iii) Bem, tendo as relações acima como parâmetro, então vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:

A^(A) * B^(B) * A^(B) * B^(A) = 49 ---- vamos apenas ordenar, ficando:

A^(A*A^(B) * B^(A)*B^(B) = 49 ---- note que temos aqui uma multiplicação de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e somam-se os expoentes. Logo:

A^(A+B) * B^(A+B) = 49

Mas note que, conforme a expressão (I), temos que "A+B = 2". então vamos substituir, ficando:

A² * B² = 49 ---- note que "A²*B²" = (A*B)² . Assim, ficaremos:
(A*B)² = 49 ----- mas, conforme a expressão (II), temos que A*B = k. Então é só substituir, ficando:

(k)² = 49 ---- isolando "k", teremos:
k = ± √(49) ---- como √(49) = 7, teremos:
k =  ± 7 ---- tomando-se apenas a raiz positiva,pois na equação dada temos "+k", então temos que:

k = 7 <--- Esta é a resposta. Opção "b".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.