Question

Dado um plano α de equação x + 2y – 3z + 10 = 0, e uma reta r perpendicular

ao plano α, e que passa por um ponto A = (3, 2, 1) do espaço, determine:



a) A equação vetorial paramétrica da reta r.

b) O ponto P de intersecção da reta r com o plano α.

c) Determine o ponto I de intersecção do plano com o eixo dos Y.

NOTA:

A figura acima é só um esboço para ajudar na resolução do exercício, não significando que α é horizontal e que r é vertical.

Answer 1

a)
ax+by+cz+D=0   .....vetor (a,b,c) é normal ao plano

x + 2y – 3z + 10 = 0 ...vetor (1,2,-3) é o vetor normal(perpendicular) ao plano

Equação vetorial da reta:
(x,y,z)=Po  +(a,b,c)* t  ....sendo t ∈ R

Po: é um ponto qualquer da reta
t é um escalar ∈ Reta
(a,b,c) é um vetor condutor da reta..

A nossa reta é perpendicular ao plano , vamos usar o vetor perpendicular
 {(1,2,-3)}  e o seu ponto A= (3, 2, 1)

Equação vetorial da reta:
(x,y,z)=(3, 2, 1) +(1,2,-3)* t  ....sendo t ∈ R

Equação paramétrica da reta:
x=3+t
y=2+2t   ...sendo t ∈ R
z=1-3t

b)
x + 2y – 3z + 10 = 0
3+t+2*(2+2t)-3*(1-3t)+10=0
3+t+4+4t-3+9t+10=0
14+14t+0 ==>t=-1

x=3+t
y=2+2t   ...sendo t = -1
z=1-3t

x=3-1=2
y=2-2=0       ponto=(2,0,4)
z=1+3 =4

c)

x + 2y – 3z + 10 = 0   ..eixo y ==>(0,y,0)

0 +2y-0+10 =0  ==>2y=-10 ==>y=-5

Ponto de intersecção ==> (0,-5,0)