Question

Os lados de um triângulo isósceles medem 8m e 6m (lado côngruo). Calcule a mediana relativa ao lado 6m.

Answer 1

Observe a figura em anexo. Todos os valores dos comprimentos estão dados em metros. Sendo assim, temos que

$\mathrm{med}\left(\overline{AC} \right )=\mathrm{med}\left(\overline{BC} \right )=6\text{ m}\\ \\ \mathrm{med}\left(\overline{AB} \right )=8\text{ m}$


Como $\overline{AM}$ é a mediana relativa ao lado $\overline{BC}$, então

$\mathrm{med}\left(\overline{BM} \right )=\mathrm{med}\left(\overline{MC} \right )=\dfrac{\mathrm{med}\left(\overline{BC} \right )}{2}\\ \\ \mathrm{med}\left(\overline{BM} \right )=\mathrm{med}\left(\overline{MC} \right )=\dfrac{6}{2}\\ \\ \mathrm{med}\left(\overline{BM} \right )=\mathrm{med}\left(\overline{MC} \right )=3\text{ m}$


Deseja se calcular o comprimento $x$ da mediana relativa ao lado que mede $6\text{ m}$, ou seja

$x=\mathrm{med}\left(\overline{AM} \right )$



$\bullet\;\;$ Aplicando a Lei dos Senos no triângulo $ABC$, temos

$\dfrac{\mathrm{sen\,}\alpha}{8}=\dfrac{\mathrm{sen\,}\beta}{6}\;\;\;\;\;\text{(i)}$


Mas, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é $180^{\circ}$. Então, temos

$\alpha+2\beta=180^{\circ}\\ \\ \alpha=180^{\circ}-2\beta\;\;\;\;\;\text{(ii)}$


Substituindo a equação $\text{(ii)}$ na equação $\text{(i)}$, temos

$\dfrac{\mathrm{sen}\left(180^{\circ}-2\beta \right )}{8}=\dfrac{\mathrm{sen\,}\beta}{6}\\ \\ \dfrac{\mathrm{sen\,}2\beta}{8}=\dfrac{\mathrm{sen\,}\beta}{6}\\ \\ \dfrac{2\mathrm{\,sen\,}\beta\cos \beta}{8}=\dfrac{\mathrm{sen\,}\beta}{6}$


Como $0< \beta <90^{\circ}$, então $\mathrm{sen\,} \beta \neq 0$. Assim, podemos dividir os dois lados da equação acima por $\mathrm{sen\,}\beta$ e ficamos com

$\dfrac{2\cos \beta}{8}=\dfrac{1}{6}\\ \\ \dfrac{\cos \beta}{4}=\dfrac{1}{6}\\ \\ \cos \beta=\dfrac{4}{6}\\ \\ \boxed{\cos \beta=\dfrac{2}{3}}$


$\bullet\;\;$ Aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo $ABM$, onde são conhecidas as medidas dos lados $\overline{AB}$ e $\overline{BM}$ e o cosseno do ângulo $\beta$ formado entre eles, temos

$\mathrm{med}\left(\overline{AM} \right )^{2}=\mathrm{med}\left(\overline{AB} \right )^{2}+\mathrm{med}\left(\overline{BM} \right )^{2}-2\cdot \mathrm{med}\left(\overline{AB} \right )\cdot \mathrm{med}\left(\overline{BM} \right )\cdot \cos \beta\\ \\ x^{2}=8^{2}+3^{2}-2\cdot 8 \cdot 3 \cdot \dfrac{2}{3}\\ \\ x^{2}=64+9-32\\ \\ x^{2}=41\\ \\ \boxed{x=\sqrt{41}\text{ m} \approx 6,40\text{ m}}$


Esta é a medida da mediana relativa ao lado de $6\text{ m}$.