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Boa tarde
Neste caso tem o número complexo - 1 + i = -1 + 1 * i
A outra forma de representação, a trigonométrica é :
z = | z | ( cos Ф + i * sen Ф )
( nota 1: " Ф " uso este símbolo pois não encontro o adequado símbolo grego, denominado " teta " , que deve ter em seu livro de matemática
nota 2 : |z| = módulo do número complexo z também aparece no seu livro com uma letra grega que se pronuncia " ró ")
( parte positiva do eixo dos YY )
y = Im (z)
↑
|
P
---- 1
| ° |
| ° |
| ° |
| ° |
| ° |
| ° |
---|------------------°----------------------------A---→
B | O x = Re (z)
- 1 | ( parte positiva eixo dos xx)
Calculando o módulo do número complexo z = - 1 + i
| z | = √ ( (- 1 ) ² + ( 1 ) ² )
= √ 2
| - 1 + i | =
√ 2
---------------------------------------------------------
A primeira parte já está calculada.
Precisamos de calcular o ângulo Ф , que é o ângulo AOP
Triângulo OBP é retângulo em B.
Os ângulos AOP e BOP têm os mesmos valores para os seus seno e cosseno .
Cos (BOP ) = BO / OP
= ( - 1 ) : √2
racionaliza-se o denominador multiplicando ambos os termos da fração por √2.
= - √2 / (√2 √2)
no denominador , √2 √2 = 2
assim
Cos (BOP) = - √2 / 2 , o que faz sentido pois o sinal do cosseno é negativo no segundo quadrante
2º quadrante | 1º quadrante
|
--------------------------------------
3º quadrante | 4º quadrante
|
1º Quadrante - Sen e Cos positivos
2º Quadrante - Sen Positivo ; Cos Negativo
3º Quadrante - Sen e Cos negativos
4º Quadrante - Sen negativo ; Cos positivo
Cálculo do Sen (BOP) = BP / OP
= 1/ √ 2
Racionalizando o denominador
= (1*√2 ) / ( √ 2*√2)
Sen (BOP) = √ 2 / 2
Nota: a partir de agora quando for preciso falar de ângulos, a dimensão não vai ser graus , mas π radianos
Em termos de graus o ângulo π = 180 º
Assim 30 º = π / 6
45º = π / 4
60 º = π / 3
Tabela de valores trigonométricos muito usados
| π / 6 | π / 4 | π / 3
----------|-----------| ---------- |---------
seno | 1/2 | √ 2 / 2 | √3 / 2
| | |
-----------------------------------------------
cos | √3 / 2 | √ 2/ 2 | 1/2
| | |
-----------------------------------------------
tang | √3 / 3 | 1 | √3
( tang x = sen x / cos x)
Cos (BOP) = - √2 / 2 , Sen (BOP) = √2 / 2
Ângulo BOP = π / 4
Mas para elaborar a forma trigonométrica do número complexo, o ângulo a registar na fórmula trigonométrica é o ângulo AOP.
Ângulos AOP e BOP são suplementares ( sua soma igual a 180 º ou seja π)
Ângulo AOP
= π - π / 4
= 4π / 4 - π / 4
= 3 π / 4
Temos todos os elementos para indicar a forma trigonométrica pedida.
R : forma trignométrica de - 1 + i é √2 ( cos 3π / 4 + i sen 3π / 4 )
que também tem uma escrita reduzida de √2 cis
( 3π/4 )
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Nota : sinal ( * ) é multiplicação ; sinal ( / ) é divisão
Espero ter ajudado. Ensinando devidamente o que sei.
Procuro explicar como se faz e não apenas apresentar rápidas soluções.
Esforçando-me por entregar a Melhor Resposta possível.
Qualquer dúvida, envie-me comentário ou mensagem. Bom estudo