Question

2. Determine a intensidade das correntes no circuito esquematizado abaixo usando o teorema de Thévenin.
Resposta: 2,6mA, 1,6mA e 1,0mA

Answer 1

Para o resistor de $\mathsf{15 \ k \Omega}$

Abrindo o circuito nesse resistor,  $\mathsf{V_{oc}}$ é a tensão $\mathsf{V_{ab}}$ :

$\mathsf{V_{oc} \ = \ V_{ab} \ = \ \overbrace{\mathsf{(3 \ k \Omega \ + \ 1 \ k \Omega)}}^{divisores \ de \ tens\~ao} \ \cdot \ \underbrace{\mathsf{\dfrac{(50 \ - \ 30)}{(3 \ + \ 1 \ + \ 10) \ \cdot \ k}}}_{corrente \ total} \ + \ \underbrace{\mathsf{20}}_{sentido \ da \ queda}}$

$\boxed{\mathsf{V_{oc} \ = \ \dfrac{200}{7} \ V}}$

Seja $\mathsf{i_{sc}}$ a corrente que passa no ramo do meio, que está curto circuitado, $\mathsf{i_{A}}$ a que passa pela fonte de $\mathsf{50 \ V}$ e $\mathsf{i_{B}}$ a que passa pela fonte de $\mathsf{20 \ V}$.

No nó A : $\mathsf{i_{sc} \ = \ i_{A} \ + \ i_{B}}$

Pelas malhas, $\mathsf{\dfrac{50}{10 \ k} \ = \ 5 \ mA \ = \ i_A}$ e $\mathsf{\dfrac{20}{4 \ k} \ = \ 5 \ mA \ = \ i_B}$, logo :

$\boxed{\mathsf{i_{sc} \ = \ 10 \ mA}}$

Logo, $\mathsf{R_{Th} \ = \ \dfrac{\frac{200}{7}}{10 \ m} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{R_{Th} \ = \ \dfrac{20}{7} \ k \Omega}}$

Por fim :

$\mathsf{\dfrac{200}{7} \ = \ i_1 \ \cdot \ \bigg(15 \ k \ + \ \dfrac{20}{7} \ k \bigg) \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{\dfrac{200}{125 \ k} \ = \ i_1 \ \rightarrow} \\ \\\ \\ \boxed{\boxed{\mathsf{i_1 \ = \ 1,6 \ mA}}}$

Para o ramo da esquerda...

Abriremos o circuito no resistor de $\mathsf{10 \ k \ \Omega}$, com o circuito da direita fechado.

Sendo $\mathsf{0 \ V}$ no polo inferior,  temos que, no polo superior, a tensão será de :

$\mathsf{V \ = \ \overbrace{\mathsf{- (3 \ k \Omega \ + \ 1 \ k \Omega)}}^{divisores \ de \ tens\~ao} \ \cdot \ \underbrace{\mathsf{\dfrac{20}{(3 \ + \ 1 \ + \ 15) \ \cdot \ k}}}_{corrente \ total} \ + \ \underbrace{\mathsf{20 \ - \ 50}}_{resultante \ das \ fontes}}$

$\mathsf{V \ = \ \dfrac{-80}{19} \ - \ 30 \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{V \ = \ \dfrac{- \ 650}{19} \ V}}}$

Logo, $\boxed{\mathsf{V_{oc} \ = \ \dfrac{650}{19} \ V}}$

Para a corrente de curto-circuito, agora $\mathsf{i_A}$ passa pelo resistor de $\mathsf{15 \ k \Omega}$ e $\mathsf{i_B}$ passa pela fonte de $\mathsf{20 \ V}$, além de que $\mathsf{i_{sc}}$ passa no sentido gerador da fonte de $\mathsf{50 \ V}$.

No nó A : $\mathsf{i_{sc} \ = \ i_{A} \ + \ i_{B}}$

Mas, por Kirchhoff : $\mathsf{\dfrac{50}{15 \ k} \ = \ \dfrac{10}{3} \ mA \ = \ i_A}$ e, percorrendo a malha direita,

$\mathsf{\overbrace{\mathsf{+ \ (1 \ + \ 3) \ k}}^{contra \ a \ corrente} \ \cdot \ i_B + \ 20 \ - \ \overbrace{\mathsf{15 \ k}}^{a \ favor \ a \ corrente} \ \cdot \ \dfrac{10}{3} \ = \ \underbrace{\mathsf{0}}_{KVL}} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{i_B \ = \ \dfrac{30}{4} \ = \ \dfrac{15}{2} \ mA}$

$\mathsf{i_{sc} \ = \ \dfrac{10}{3} \ m \ + \dfrac{15}{2} \ m \ \rightarrow}$

$\boxed{\mathsf{i_{sc} \ = \ \dfrac{65}{6} \ mA}}$

Por fim:

$\mathsf{R_{Th} \ = \ \dfrac{\frac{650}{19}}{\frac{65}{6} \ m} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{R_{Th} \ = \ \dfrac{60}{19} \ k \Omega}}$

$\mathsf{\dfrac{650}{19} \ = \ i_2 \ \cdot \ \bigg(10 \ k \ + \ \dfrac{60}{19} \ k \bigg) \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{\dfrac{650}{250 \ k} \ = \ i_2 \ \rightarrow} \\ \\\ \\ \boxed{\boxed{\mathsf{i_2 \ = \ 2,6 \ mA}}}$

Juntemos $\mathsf{4 \ k \Omega}$. Assim, abrindo o circuito nesse resistor, o circuito esquerdo fica fechado.

Posicionando esse resistor sobre $\mathsf{3 \ k \Omega}$ e atribuindo $\mathsf{v_a \ =\ 0 \ V}$, temos :

$\mathsf{V \ = \ \overbrace{\mathsf{-15 \ k}}^{queda \ de \ tens\~ao} \ \cdot \ \underbrace{\mathsf{\dfrac{50}{(10 \ + \ 15) \ k}}}_{corrente \ no \ fechado} \ + \ \overbrace{\mathsf{20}}^{sentido \ fonte}}$

$\mathsf{V \ = \ -10 \ V}$ é a tensão no outro polo.

Logo, $\boxed{\mathsf{V_{oc} \ = \ 10 \ V}}$

Assumindo que $\mathsf{i_{sc}}$ passa no sentido receptor de $\mathsf{20 \ V}$,

Nó A : $\mathsf{i_{B} \ = \ i_{sc} \ + \ i_{A}}$

 $\mathsf{\dfrac{20}{15 \ k} \ = \ \dfrac{4}{3} \ mA \ = \ i_A}$ e, na malha esquerda,

$\mathsf{- \ 10 \ k \ \cdot \ i_B + \ 50 \ \ -15 \ k \ \cdot \ \dfrac{4}{3} \ = \ 0} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{i_B \ = \ 3 \ mA}$

$\mathsf{i_{sc} \ = \ 3 \ m \ - \dfrac{4}{3} \ m \ \rightarrow}$

$\boxed{\mathsf{i_{sc} \ = \ \dfrac{5}{3} \ mA}}$

$\mathsf{R_{Th} \ = \ \dfrac{10}{\frac{5}{3} \ m} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{R_{Th} \ = \ 6 \ k \Omega}}$

$\mathsf{10 \ = \ i_3 \ \cdot \ \bigg(4 \ k \ + \ 6 \ k \bigg) \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{\dfrac{10}{10 \ k} \ = \ i_3 \ \rightarrow} \\ \\\ \\ \boxed{\boxed{\mathsf{i_3 \ = \ 1 \ mA}}}$