Escreva o número complezo Z = -2i-2i na forma trigonométrica.
Respostas
Olá,
z = - 2 - 2 i
A outra forma de representação, a trigonométrica é :
z = | z | ( cos Ф + i * sen Ф )
( nota 1: " Ф " uso este símbolo pois não encontro o adequado símbolo grego, denominado " teta " , que deve ter em seu livro de matemática
nota 2 : | z | = módulo do número complexo z também aparece no seu livro com uma letra grega que se pronuncia " ró ")
y = Im (z) ( parte positiva do eixo dos YY )
↑
|
- 2
|
-------|-------------O------------- A -----→
B | °
|
| ° |
| ° |
P ° | - 2
Calculando o módulo do número complexo z = - 2 - 2 i
| z | = √ ( (- 2 ) ² + 2 ² )
= √ 8 = √ ( 2 ² * 2 ) = ( √ 2 ) ² * √2
= 2 √ 2 | - 2 - 2 i | = 2 √ 2
---------------------------------------------------------
A primeira parte já está calculada.
Precisamos de calcular o ângulo Ф , que é o ângulo AOP
Triângulo OBP é retângulo em B.
Os ângulos AOP e OBP têm os mesmos valores para os seus seno e cosseno .
Cos (BOP ) = BO / OP
= (- 2 ) / ( 2 √2)
Dividir numerador e denominador por 2
= -1 / √ 2
racionaliza-se o denominador multiplicando ambos os termos da fração por √2
= - √2 / ( √2 * √2 )
= - √2 / 2
Cos (BOP) = - √2 / 2 ,
o que faz sentido pois o sinal do cosseno é negativo no terceiro quadrante
Cálculo do sen (BOP) = BP / OP
= - 2 / ( 2√2 )
= - √2 / 2 faz sentido pois o sinal do seno é negativo no terceiro quadrante
2º quadrante | 1º quadrante
------------------|--------------------
3º quadrante
| 4º quadrante
1º Quadrante - Sen e Cos positivos
2º Quadrante - Sen Positivo ; Cos Negativo
3º Quadrante - Sen e Cos negativos
4º Quadrante - Sen negativo ; Cos positivo
Nota: a partir de agora quando for preciso falar de ângulos, a dimensão não vai ser graus , mas π radianos
Em termos de graus o ângulo π = 180 º
Assim 30 º = π / 6
45º = π / 4
60 º = π / 3
Tabela de valores trigonométricos muito usados
| π / 6 | π / 4 | π / 3
----------|-----------| ---------- |---------
seno |
1/2 | √ 2/ 2 | √3 / 2
-----------------------------------------------
cos | √3 / 2
| √ 2/ 2 |
1/2
-----------------------------------------------
tang | √3 / 3 |
1 | √3 ( tang x = sen x / cos x )
Cos (BOP) = - √ 2 / 2 e Sen (BOP) = = - √ 2 / 2
Ângulo BOP = π / 4
Mas para elaborar a forma trigonométrica do número complexo, o ângulo a registar na fórmula trigonométrica é o ângulo AOP.
Ângulos AOP = ângulo AOB + ângulo BOP
Ângulo AOP = π + π / 4
= 4π / 4 + π /4
= 5 π / 4
Temos todos os elementos para indicar a forma trigonométrica pedida.
Resposta
A forma trigonométrica de
- 2 – 2 i é 2√ 2 ( cos 5π / 4 + i sen 5π/4 )
que também tem uma escrita reduzida
de 2√ 2 cis ( 5π / 4 )
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Nota : sinal ( * ) é multiplicação ; sinal ( / ) é divisão
Espero ter ajudado. Ensinando devidamente o que sei.
Procuro explicar como se faz e não apenas apresentar rápidas soluções.
Esforçando-me por entregar a Melhor Resposta possível.
Qualquer dúvida, envie-me comentário ou mensagem. Bom estudo