Question

1- Resolva a equação

a) n!+(n-1)!/n^2-1 = 120

A resposta é (n-2)! mas eu não entendi como chegou nesse resultado.

Answer 1

Para cancelarmos fatores de interesse, podemos "abrir" o fatorial. Por exemplo, podemos dizer que n! = n·(n-1)!. Usando isso:

$\dfrac{n!+(n-1)!}{n^2-1} = 120\\\\ \dfrac{n\cdot(n-1)!+(n-1)!}{n^2-1} = 120\\\\ \dfrac{[n+1]\cdot(n-1)!}{(n-1)(n+1)} = 120\\\\ \dfrac{(n-1)!}{n-1} = 120\\\\ \dfrac{(n-1)\cdot(n-2)!}{n-1} = 120\\\\ (n-2)! = 120$

Como 120 = 5!, temos:

$(n-2)!=5!\\\\ n-2=5\\\\ \boxed{n=7}$

Portanto, o valor de n que satisfaz à equação é 7.

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