Question

Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B cobrindo a distância AB=1200m. Quando emA, ele avista um n avio parado em N, de tal maneira que o ângulo NÂB é de 60°; quando em B, verifica que o ângulo N^BA é de 45°. Calcule a que distância da praia se encontra o navio

Answer 1

Os pontos A, B e N determinam um triângulo, no qual conhecemos o lado AB (1.200 m), o ângulo NAB (60º) e o ângulo NBA (45º). A distância do navio (N) até a praia é obtida ao traçarmos de N uma perpendicular ao lado AB, obtendo aí o ponto C. Com esta construção, obtivemos o triângulo BCN, no qual o ângulo CBN = ângulo CNB = 45º, uma vez que o ângulo BCN = 90º. Assim, este triângulo é retângulo, BN é a sua hipotenusa e o cateto CN é a distância que procuramos.
Vamos, então, obter o valor da hipotenusa BN.
Para isto, vamos utilizar a lei dos senos: um lado está para o seno do ângulo oposto, assim como outro lado está para o seno do ângulo oposto a ele.
Conhecemos o lado AB (1.200) e o ângulo oposto a ele: ANB = 75º, pois o ângulo NAB = 60º e o ângulo NBA = 45C. Então, vamos relacionar o lado AB com o seno de 75º e o lado BN com o seno de 60º (ângulo oposto a BN):
BN ÷ sen 60º = AB ÷ sen 75º
BN = AB × sen 60º ÷ sen 75º
BN = 1.200 × 0,866 ÷ 0,966
BN = 1.075,77 m
Como este é o valor da hipotenusa do triângulo BCN, do qual precisamos obter o valor do cateto CN (que é igual ao cateto BC, aos quais vamos chamar de x), vamos usar o Teorema de Pitágoras:
BN² = x² + x²
1.075,77² = 2x²
1.075,77² ÷ 2 = x²
x = 760,68 m, distância do navio até a praia