Question

alguem pode me ajudar nesse exercício de limites? (x^2 - 5x + 6)/ (x^2-4) com x tendendo a 2

Answer 1

lim(x² - 5x + 6) / (x² - 4)
x -> 2

x² - 5x + 6 => (x - 2)(x - 3)

x² - 4 = (x + 2)(x - 2)

lim (x - 2)(x - 3) / (x + 2)(x - 2)
x -> 2     corta (x - 2)

lim   (x - 3) / (x + 2) = (2 - 3) / (2 + 2) => -1/4
x ->2
resposta = - 1/4

Answer 2

Para casos como este é preciso substituirmos o x por 2 para ver se o limite resulta em uma indeterminação ou não.

$\underset{x\to 2}{\ell im}~ \dfrac{x^2-5x+6}{x^2-4}= \dfrac{2^2-5~.~2+6}{2^2-4} =\dfrac{0}{0}$

Substituindo o 2 no x, resultamos em uma indeterminação. Nesse caso, temos que "eliminar" essa indeterminação de forma a termos um resultado para esse limite. Podemos, de início, fatorar o x² - 5 x + 6. Sendo assim, usamos uma das propriedades da fatoração de um polinômio de grau 2, que diz que: a( x - x'' ) ( x - x' ). Para isso, vamos encontrar as raízes da equação por meio da soma e produto.

  •Temos que encontrar dois valores que somados resulte em ( - b / a ).
  • Esses dois valores que encontrarmos, quando multiplicados, tem que resultar em ( c / a ).

__3__ + __2__ = 5
__3__ . __2__ = 6

Esses dois valores se "encaixam" muito bem na definição do produto e soma. Sendo assim, são raízes da equação o x' = 2 e x'' = 3. Logo,

$1(x-2)(x-3)$

No denominador, temos um caso da diferença do quadrado de dois termos. Veja:

Podemos rescrever o numerador da seguinte maneira,

$x^2-2^2=(x-2)(x+2)$

Fatorado o numerador e o denominador, basta substituirmos as duas formas fatoradas.

$\underset{x\to2}{\ell im}~ \dfrac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)} \\ \\ \\ \\ \underset{x\to2}{\ell im}~ \dfrac{(x-3)}{(x+2)} \\ \\ \\ \\ \underset{x\to2}{\ell im}~ \dfrac{2-3}{2+2} \\ \\ \\ \\ \underset{x\to2}{\ell im}~ \dfrac{-1}{4}= \boxed{-\dfrac{1}{4}}~\checkmark$