Question

Mostre que f é bijetora, econtre a inversa f^{-1} esboce os gráficos de f e f^{-1}

f: [0,1] ----> [3,8] , f(x)=5x+3

f: [1,+oo] -----> [1,+00] , f(x)=|x+9|

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dani, que a questão do item "a" já havíamos respondido em uma outra mensagem sua. Vamos apenas fazer os gráficos dela e da sua inversa, pois o que fizemos numa outra mensagem sua não saiu "a contento" no WolfranAlpha , pois eu não soube "informar pra ele" o domínio de cada uma das funções.
Vamos, então, agora, apenas construir os dois gráficos, mas um gráfico por vez, pois com da forma que fizemos na sua outra mensagem (os dois gráficos num só sistema cartesiano) não saiu "a contento" como já dissemos acima. Então vamos aos gráficos da função do item "a", que é esta:

a) f(x) = 5x + 3, cujo domínio é: [0; 1] . O gráfico é este só para esta função (veja que ela é bijetora, pois o seu conjunto-imagem [3; 8] vai ser igual ao contradomínio. Ou seja, a função "f" é esta: f: [0; 1] ---> [3; 8], f(x) = 5x+3.
Veja o gráfico dela [((x) = 5x+3, no intervalo dado [0; 1]).

http://www.wolframalpha.com/input/?i=graphic+f(x)+%3D+5x%2B3,+0+%3C%3D+x+%3C%3D+1

b) A sua inversa, que também já havíamos encontrado, e que é esta:

f⁻¹(x) = (x-3)/5, no intervalo [3; 8]. Veja o seu gráfico abaixo:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=graphic+g(x)+%3D+(x-3)%2F5,+3+%3C%3D+x+%3C%3D+8

b) f(x) = |x+9|, sendo a função "f" caracterizada assim:

f: [1; +∞) ---> [1; +∞). Ou seja, neste intervalo a função é bijetora, pois cada elemento do domínio está indo numa só imagem no contradomínio, o que faz com que a função seja bijetora (conjunto-imagem igual ao contradomínio).
Agora vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:

f(x) = |x+9|

Você se lembra que quando trabalhamos com funções modulares temos isto:

 |x| = x, se x ≥ 0;
 e
|x| = -x, se x < 0.

No caso acima, estamos vendo que se o domínio é para "x" maior ou igual a "1" (veja que o domínio é [1; +∞) ), o que demonstra que poderemos utilizar apenas a primeira hipótese acima, que é: |x| = x, se x ≥ 0, concorda?

Então, utilizando apenas a primeira hipótese, iremos ter que:

f(x) = x + 9, para "x" enquadrado no seguinte intervalo: 1 ≤ x < +∞

Veja o gráfico desta função no endereço abaixo (pois aqui no Brainly, como já informamos antes, não sabemos construir gráficos):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=graphic+f(x)+%3D+x+%2B+9,+1+%3C%3D+x+%3C%3D+1000000

Ora, mas como a função, por causa do intervalo de "x" se resumiu em f(x) = x + 9, então a sua inversa é bem fácil de encontrar. Seguindo as regras de função inversa, teremos:

f(x) = x + 9 ---- trocando f(x) por "y", temos;
y = x + 9 ----- trocando "y" por "x' e "x" por "y", teremos:
x = y + 9 ---- passando "9" para o 1º membro, temos:
x - 9 = y --- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo:
y = x - 9 <--- Esta já é a inversa procurada, no intervalo [0; +∞).

Trocando "y" pelo símbolo conhecido de inversa, teremos:

f⁻¹(x) = x - 9

Vamos, também, construir o seu gráfico no endereço abaixo, no intervalo fechado  [1; + ∞). Veja aí em baixo.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=graphic+f(x)+%3D+x+-+9,+1+%3C%3D+x+%3C%3D+1000000

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.