Question

Qual é a posição relativa entre a reta X(t) = (1 − t,−1,1 + 2t) e o plano 6x − y +3z = 10?

Answer 1

Da equação paramétrica da reta, temos o vetor direção (-1,0,2) e da equação cartesiana do plano temos o vetor normal (6,-1,3).

Vamos calcular o produto interno entre esses dois vetores. Se o resultado for igual a 0, a reta é paralela ou coincidente ao plano. Se o resultado for diferente de 0, a reta é transversal ao plano.

Dito isso, temos que:

<(-1,0,2)(6,-1,3)> = -6 + 6 = 0.

Como o resultado deu 0, então a reta ou é paralela ou é coincidente. 

Para sabermos quais das duas posições é a correta, pegaremos um ponto da reta e veremos se pertence ao plano. Se pertencer, a reta é coincidente. Se não pertencer, a reta é paralela ao plano.

Podemos pegar o ponto (1,-1,1). Então:

6.1 - (-1) + 3.1 = 6 + 1 + 3 = 10

Portanto, a reta é coincidente ao plano.