Question

Resolva a seguinte equação trigonométrica para x ∈ [0, 2π]:

sen⁴ x + cos⁴ x = 1/2

Answer 1

Resolver a equação trigonométrica, com x ∈ [0, 2π]:

     $\mathsf{sen^4\,x+cos^4\,x=\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{(sen^2\,x)^2+(cos^2\,x)^2=\dfrac{1}{2}}$


Para completar o quadrado de uma soma no lado esquerdo, some $\mathsf{2\,sen^2\,x\,cos^2\,x}$ aos dois lados da desigualdade:

     $\mathsf{(sen^2\,x)^2+(cos^2\,x)^2+2\,sen^2\,x\,cos^2\,x=\dfrac{1}{2}+2\,sen^2\,x\,cos^2\,x}\\\\\\ \mathsf{(sen^2\,x)^2+2\,sen^2\,x\,cos^2\,x+(cos^2\,x)^2=\dfrac{1}{2}+2\,sen^2\,x\,cos^2\,x}$


No lado esquerdo você tem um quadrado perfeito:

     $\mathsf{(sen^2\,x+cos^2\,x)^2=\dfrac{1}{2}+2\,sen^2\,x\,cos^2\,x}$


Mas sen² x + cos² x = 1:

     $\mathsf{1^2=\dfrac{1}{2}+2\,sen^2\,x\,cos^2\,x}\\\\\\ \mathsf{2\,sen^2\,x\,cos^2\,x=1-\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{2\,sen^2\,x\,cos^2\,x=\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{4\,sen^2\,x\,cos^2\,x=1}$


Substitua sen² x = 1 − cos² x:

     $\mathsf{4\cdot (1-cos^2\,x)\,cos^2\,x=1}$


Como temos apenas cos² x, podemos simplificar recorrendo a uma das identidades de arco duplo:

     •  cos² x = (1/2) · (1 + cos 2x)


Substituindo, a equação fica

     $\mathsf{4\cdot \Big[1-\dfrac{1}{2}(1+cos\,2x)\Big]\cdot \dfrac{1}{2}(1+cos\,2x)=1}\\\\\\ \mathsf{2\cdot \Big[1-\dfrac{1}{2}(1+cos\,2x)\Big]\cdot (1+cos\,2x)=1}\\\\\\ \mathsf{\big[2-(1+cos\,2x)\big]\cdot (1+cos\,2x)=1}\\\\ \mathsf{(1-cos\,2x)\cdot (1+cos\,2x)=1}\\\\ \mathsf{1-cos^2\,2x=1}\\\\ \mathsf{cos^2\,2x=0}$


Aplique a identidade do arco duplo novamente:

     •  cos² 2x = (1/2) · (1 + cos 4x)


e a equação fica

     $\mathsf{\dfrac{1}{2}(1+cos\,4x)=0}\\\\\\ \mathsf{1+cos\,4x=0}\\\\ \mathsf{cos\,4x=-1}\\\\ \mathsf{4x=(2k+1)\pi}\\\\\\ \mathsf{x=(2k+1)\dfrac{\pi}{4}}$

com k inteiro.


As soluções são todos os múltiplos ímpares de π/4.

Como queremos os arcos no intervalo [0, 2π], o conjunto solução é

     $\mathsf{S=\Big\{\dfrac{\pi}{4},\,\dfrac{3\pi}{4},\,\dfrac{5\pi}{4},\,\dfrac{7\pi}{4}\Big\}.}$


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Bons estudos! :-)