Question

Determine o valor de X para que o ângulo entre os vetores u(1,0) e v(X, 1) seja igual a 60 graus

Answer 1

Utilizando a fórmula do produto escalar temos:

$u . v = |u|.|v| . cos (a)$

Utilizando os dados do problema, vamos encontrar cada item que está na fórmula:

$u . v = (1,0) . (x,1) = 1 . x + 0 . 1 = x$

$|u| = \sqrt{ 1^{2} + 0^{2} } = \sqrt{1} = 1$
$|v| = \sqrt{ x^{2} + 1^{2} } = \sqrt{ x^{2} + 1 }$

O ângulo deve ser igual a 60°. Então:
$cos(60) = 1/2$

Agora vamos substituir:

$u . v = |u|.|v| . cos (a) \\ \\ x = 1 . \sqrt{ x^{2} + 1 } . ( 1/2) \\ \\ 2x = \sqrt{ x^{2} + 1 } \\ \\ (2x)^{2} = (\sqrt{ x^{2} + 1 })^{2} \\ \\ 4 x^{2} = x^{2} +1 \\ \\ 4 x^{2} - x^{2} =1 \\ \\ 3 x^{2} =1 \\ \\ x^{2} = \frac{1}{3}$

$x= \sqrt{ \frac{1}{3} }$

$x = \frac{1}{ \sqrt{3} } . \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Observe que quando extraímos a raíz de (1/3) teríamos um valor negativo e outro positivo. Consideraremos apenas o positivo, pais se considersrmos o negativo, veremos que, utilizando a fórmula, teríamos um valor de angulo igual a -1/2, que sería o cosseno de 240, que não é nosso caso