Question

Um fazendeiro foi ao encontro de seu gerente de banco pedir um empréstimo para comprar animais. O gerente fez um acordo com o ele. Ele disse que emprestaria R$ 100,00 e que o fazendeiro não precisaria devolver o dinheiro ao banco caso conseguisse comprar exatamente 100 cabeças (animais) com os R$ 100,00.

A única regra do acordo era que o fazendeiro comprasse pelo menos um animal de cada um desses tipos: bois, porcos e ovelhas. Cada boi custa R$ 10,00. Cada porco custa R$ 3,00 e as ovelhas custam, cada uma, R$ 0,50. Quantos animais de cada tipo o fazendeiro comprou?

Answer 1

Olá, Rafael.

Sejam $x,y,z$ as quantidades de bois, porcos e ovelhas.
Pelos dados do problema, temos que:

$\begin{cases} 10x + 3y + 0,5z = 100\,\,(\times2)\\x + y + z = 100\end{cases}\Rightarrow\begin{cases} 20x + 6y + z = 200\\ x + y + z = 100\end{cases}(-)\Rightarrow\\\\\\19x + 5y = 100 \Rightarrow 5y = 100-19x$

Pausa agora para algumas considerações.
O exercício propõe um problema com duas equações e três variáveis, ou seja, temos um grau de liberdade. Isto significa que uma das variáveis deverá ter seu valor assumido por nós e as outras duas calculadas em função desse "chute".
Da última expressão obtida acima (5y = 100 - 19x), podemos concluir que 100 - 19x deve ser um múltiplo de 5. Como 100 é um múltiplo de 5, 19x também deve ser um múltiplo de 5, de tal forma que 100 - 19x seja um múltiplo de 5.
Além disso, como todas as quantidades são positivas, 100 - 19x deve ser um número positivo, de tal forma que 5y também seja um número positivo.
Os valores que x pode assumir são, portanto: 5, 10, 15, etc. Destes valores, verificamos que x só pode assumir o valor 5, pois, para x = 10, já teríamos 100 - 19x < 0.
Assim, temos que:

$\boxed{x=5}\Rightarrow 5y=100-19\cdot5=100-95=5\Rightarrow\boxed{y=1}\\\\ 5 + 1 + z =100\Rightarrow\boxed{z=94}$

Resposta: 5 bois, 1 porco e 94 ovelhas.