Question

Resolva a equação irracional:

√(4x² - 5x + 2) ≥ x - 2

Answer 1

Olá Vinicius.

Queremos achar a solução da seguinte equação:

√(4x² - 5x + 2) ≥ x - 2

Primeiro vamos achar a condição de existência para o radicando.

4x²- 5x + 2 ≥ 0

Calculando a discriminante da expressão 4x² - 5x + 2, temos.

∆ = 5² - 4 . 4 . 2

∆ = 25 - 32

∆ = - 7

Logo, a parábola escrita pela lei 4x² - 5x + 2 jamais toca o eixo x. Portanto, 4x² - 5x + 2 > 0 para todo x pertencente aos reais. Então está garantido a condição de existência do radicando para todo x.

Como a raiz quadrada de um número real é sempre maior ou igual a 0, então uma solução é o caso em que:

x - 2 < 0

x < 2

Se x - 2 ≥ 0, temos:

√(4x² - 5x + 2) ≥ x - 2

Eleve ambos os lados ao quadrado

4x² - 5x + 2 ≥ x² - 4x + 4

3x² - x - 2 ≥ 0

Multiplique ambos os lados por 3.

9x² - 3x - 6 ≥ 0

(3x - 1/3)² - 1/9 - 6 ≥ 0

(3x - 1/3)² - 1/9 - 54/9 ≥ 0

(3x - 1/3)² - 55/9 ≥ 0

(3x - 1/3)² ≥ 55/9

Logo,

3x - 1/3 ≥ √55/3 ou 3x - 1/3 ≤ - √55/3

Resolvendo a primeira, temos.

3x - 1/3 ≥ √55/3

3x ≥ √55/3 + 1/3

x ≥ √55/9 + 1/9

É interessante agora verificar se √55/9 + 1/9 é maior ou menor que 2, pois estamos considerando o caso em que x ≥ 2.

Note que,

√64 > √55

16 > √55

16/9 > √55/9

16/9 + 1/9 > √55/9 + 1/9

17/9 > √55/9 + 1/9

Note que,

18/9 > 17/9 > √55/9 + 1/9 > 7/9 > 0/9

2 > √55/9 + 1/9

Então a interseção entre o intervalo, [2, + ∞) e [√55/9 + 1/9, + ∞), será [2, +∞).

Resolvendo o segundo caso, temos

3x - 1/3 ≤ - √55/3

3x < - √55/3 + 1/3

x < - √55/9 + 1/9

Note que,

√55/9 > √36/9

√55/9 > 6/9

Então,

√55/9 > 1/9

0 > - √55/9 + 1/9

Logo, a interseção entre o intervalo [2, + ∞) e [- ∞, - √55/9 + 1/9) é vazia.

E portanto a solução é a união entre o caso em que x - 2 < 0 e o caso em que x - 2 ≥ 0.

Vimos que para x - 2 < 0, todo x nesse intervalo é solução, e para x - 2 ≥ 0, todo x nesse intervalo também é solução, logo.

S = (- ∞, 2] U [2, + ∞) = IR

Dúvidas ? Comente.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Inequação Irracional :

Dada a inequação :

$\mathsf{\sqrt{4x^2-5x+2} ≥ x - 2 }$

Para resolução deste exercicio , primeiramente vamos achar o domínio de existência para o radicando :

$\mathsf{4x^2-5x+2 ≥ 0 }$

Vamos igualar a expressão a zero para achar suas raízes :

$\mathsf{4x^2-5x+2~=~0 }$

$\mathsf{Coeficientes:}\begin{cases} \mathsf{a~=~4} \\ \\ \mathsf{b~=~-5} \\ \\ \mathsf{c~=~2} \end{cases}$

$\mathsf{\Delta~=~b^2-4ac }$

$\mathsf{\Delta~=~(-5)^2-4.4.(2) }$

$\mathsf{\Delta~=~25-32 }$

$\mathsf{\Delta~=~-7 }$

Como ∆ < 0 , a expressão não admite raízes reais .

Então :

$\mathsf{D_{f1}=\{~\} }$

e $\mathsf{ x - 2 ≥ 0 }$

$\mathsf{x ≥ 2}$

$\mathsf{\red{D_{f2}~=~x\in [ 2 ; \infty[} }$

$\mathsf{D_{f}~=~D_{f1}\bigcap D_{f2} }$

$\mathsf{D_{f}~=~\{\}\bigcap [2~;~+\infty[ }$

$\mathsf{\red{D_{f}=x\in[2~;~+\infty[ } }$

Voltando a inequação Original :.

Vamos elevar ambos membros ao quadrado :

$\mathsf{\Big(\sqrt{4x^2-5x+2} \Big)^2 ≥ \Big(x-2 \Big)^2 }$

$\mathsf{4x^2-5x+2 ≥ x^2-4x+4 }$

$\mathsf{4x^2-x^2-5x+4x+2-4 ≥ 0 }$

$\mathsf{3x^2-x - 2≥ 0 }$

Vamos igualar a zero a expressão :

$\mathsf{3x^2-x - 2~=~0 }$

$\mathsf{Coeficientes:} \begin{cases} \mathsf{a~=~3} \\ \\ \mathsf{b~=~-1} \\ \\ \mathsf{c~=~-2} \end{cases}$

$\mathsf{\red{\Delta~=~b^2-4ac}}$

$\mathsf{\Delta~=~(-1)^2-4.3.(-2) }$

$\mathsf{\Delta~=~1+24~=~\red{25}}$

$\mathsf{\sqrt{\Delta}~=~\sqrt{25}~=~5 }$

$\mathsf{x~=~\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} }$

$\mathsf{x~=~}\begin{cases} \mathsf{x_{1}~=~\dfrac{1+5}{6}~=~\dfrac{6}{6}} \\ \\ \mathsf{x_{2}~=~\dfrac{1-5}{6}~=~-\dfrac{4}{6}} \end{cases}$

$\mathsf{x~=~}\begin{cases} \mathsf{\red{x_{1}~=~1}} \\ \\ \mathsf{\red{x_{2}~=~-\dfrac{2}{3}}} \end{cases}$

$\mathsf{Sol1=~x\in \Big(-\infty~;~-\dfrac{2}{3}] \mathsf{U} [1~;~+\infty\Big) }$

$\mathsf{Sol_{total}~=~D_{f} \bigcap Sol_{1} }$

$\mathsf{\red{Sol_{total}~=~x\in [2~;~+\infty [ }}$

Espero ter ajudado bastante!)