Question

Um investidor depositou, anualmente, $ 1000,00 numa conta de poupança, em nome de
seu filho, a juros de 6% a.a. O primeiro depósito foi feito no dia em que seu filho completou
1 ano e o último quando este completou 18 anos. O dinheiro ficou depositado até o dia em
que completou 21 anos, quando o montante foi sacado. Quanto recebeu seu filho.

Answer 1

Durante os primeiros 17 anos, foram feitos aportes anuais de mesmo valor:

     •  Valor de cada aporte:  A = R$ 1000,00;

     •  Quantidade de aportes:  n = 18.

     •  Taxa de juros:  i = 6% ao ano = 0,06 ao ano.


Vamos seguir o raciocínio.

     •  A parcela do montante correspondente ao 1º aporte (ano 1) é capitalizada durante 17 anos (18 − 1);

     •  A parcela do montante correspondente ao 2º aporte (ano 1) é capitalizada durante 16 anos (18 − 2);

     ⋮

     •  A parcela do montante correspondente ao 18º aporte (ano 18) não sofre capitalização, pois é a última.


Logo, o montante total que se acumula durante os primeiros 17 anos é

     $\mathsf{M_1=A\cdot (1+i)^{17}+A\cdot (1+i)^{16}+\ldots+A\cdot (1+i)^1+A\cdot (1+i)^0}\\\\ \mathsf{M_1=\displaystyle\sum_{k=0}^{17}A\cdot (1+i)^k}$


Aplicando a fórmula da soma de uma P.G., podemos escrever

     $\mathsf{M_1=A\cdot \dfrac{(1+i)^{17+1}-(1+i)^0}{(1+i)-1}}\\\\\\ \mathsf{M_1=A\cdot \dfrac{(1+i)^{18}-1}{i}}$

     $\mathsf{M_1=1000\cdot \dfrac{(1+0,\!06)^{18}-1}{0,\!06}}\\\\\\ \mathsf{M_1=1000\cdot \dfrac{(1,\!06)^{18}-1}{0,\!06}}\\\\\\ \mathsf{M_1\approx 1000\cdot \dfrac{2,\!8543-1}{0,\!06}}\\\\\\ \mathsf{M_1\approx 1000\cdot \dfrac{1,\!8543}{0,\!06}}\\\\\\ \mathsf{M_1\approx 1000\cdot 30,\!90565}$

     $\mathsf{M_1\approx R\ ~30905,\!65.}$


Agora, sobre esse montante não há mais aportes durante 3 anos até o resgate. Mas ainda haverá remuneração de juros correspondente a esse tempo que o dinheiro ficou aplicado. Logo, o montante a ser sacado quando o filho completar 21 anos é

     $\mathsf{M=M_1\cdot (1+i)^{3}}\\\\ \mathsf{M\approx 30905,\!65\cdot (1+0,\!06)^{3}}\\\\ \mathsf{M\approx 30905,\!65\cdot (1,\!06)^{3}}\\\\ \mathsf{M\approx 30905,\!65\cdot 1,\!191016}$

     $\mathsf{M\approx R\ ~36809,\!13\quad\longleftarrow\quad esta~\acute{e}~a~resposta.}$


O filho recebeu R$ 36809,13.


Bons estudos! :-)