Question

Alguém pode me explicar e resolver essa questão?

um teatro possui 12 poltronas na primeira fileira 14 na segunda e 16 na terceira as demais fileiras se compõe na mesma sequência quantas vezes são necessárias para o teatro ter um total de 620 poltronas?

Answer 1

O número de poltronas nas fileiras segue uma progressão aritmética, onde a cada terno soma-se 2.

12, 14, 16...
Logo, temos que a razão é 2  (r=2) e o primeiro termo é 12 (a1).

$a_n = a_1 + (n - 1) *r$
$a_n = 12 + (n - 1)*2$
$a_2 = 12 + (2 - 1) * 2 = 12 + 2 = 14$
$a_3 = 12 + (3 - 1)*2 = 12 + 4 = 16$

O total (soma) de cadeiras deve ser 620. Logo devemos achar o total de fileiras (n) que resultam nesse valor.

$S_n = \frac{(a_1 + a_n)*n}{2}$
$620 = \frac{(12 + a_n)*n}{2}$
$1240 = (12 + a_n)*n$
$1240 = 12*n + a_n*n$

$a_n = a_1 + (n - 1)*r$
$a_n = 12 + 2(n - 1)$

$a_n = 12 + 2n -  2$
$a_n = 10 + 2n$

substituindo...

$1240 = 12*n + (10 + 2n)*n$
1240 = 12n + 10n + 2n²


Temos a equação do segundo grau:

2n² + 22n - 1240 = 0


Resolvendo por Bhaskara...

a = 2    b = 22    c = -1240
Δ = b² - 4ac
Δ = (22)² - 4*2*(-1240)
Δ = 484 + 9920 = 10404


n =  ( - b +- √Δ ) / 2a
n1 = ( -22 + 102) / (2*2)
n1 = 80 / 4
n1 = 20


n2 dará um número negativo. Como não tem como existir um número de fileiras negativo, pode-se ignorar n2.



Resposta: Segundo esse padrão (12, 14, 16...) serão necessárias um total de 20 fileiras para totalizar 620 cadeiras.