Question

A radioterapiia é uma técnica utilizada em tratamentos oncológicos que consistem em utilizar um aparelho que emite radiação de modo a tingir um tumor. Em alguns casos, o elemento, radioativo utilizado nesta técnica é o cobalto-60. A meia-vida deste elemento, ou seja, o tempo necessário para que o cobalto-60 reduza em 50% a sua massa inicial, é de, aproximadamente 5,26 anos. a quantidade de cobalto-60 em função do tempo pode ser calculada utilizando a função M(t)=Mo.e elevado a KT, onde K é uma constante real t é o tempo e Mo é a massa inicial. O tempo necessário para que a quantidade de cobalto-60 seja reduzida a 12,5% da quantidade inicial é, aproximadamente, de

Answer 1

Vamos retirar os dados do enunciado. Para que o cobalto-60 se reduza em 50 % da massa inicial, o tempo é de 5,26 anos aproximadamente.

$M(t)=0,5~.~Mo \\ \\ t=5,26$

Substituímos na função,

$M(t)=Mo.e^{kt} \\ \\ 0,5Mo=Mo~.~e^{5,26k} \\ \\ 0,5=(e^k)^{5,26}$

Por enquanto, vamos deixar a função dessa maneira. Agora, o enunciado pede o tempo em que o cobalto-60 seja reduzida a 12,5% da quantidade inicial,

$0,125Mo=Mo~.~e^{kt} \\ \\ 0,125=e^{kt}$

Voltaremos para a outra função,

$0,5=(e^k)^{5,26} \\ \\ 0,5^{ \frac{1}{5,26} }=(e^{5,26k})^{ \frac{1}{5,26} } \\ \\ e^k=0,5^{ \frac{1}{5,26} }$

Elevei aos dois lados por ( 1 / 5,26 ) com o objetivo de simplificar o 5,26. Voltaremos para a função 0,125 = e^( kt ).

$0,125=(e^k)^t \\ \\ \\ 0,125=(0,5^{ \frac{1}{5,26} })^t \\ \\ \\ \frac{125}{1000}= (\frac{5}{10} )^ {\frac{1}{5,26}t } \\ \\ \\ \frac{5^3}{10^3} = (\frac{5}{10} )^{ \frac{1}{5,26}t } \\ \\ \\ (\frac{5}{10})^3= ( \frac{5}{10} )^{ \frac{1}{5,26}t }$

Como temos uma igualdade entre bases, podemos igualar os expoentes e encontrar o tempo t ( aproximado ). A gente faz isso por causa da definição exponencial.

$\dfrac{t}{5,26}=3 \\ \\ \\ t=5,26~.~3 \\ \\ \\ \boxed{t=15,78 }~\checkmark$

Como o enunciado pede o tempo aproximado, a única alternativa que satisfaz é a ( E ) 16 anos.