Respostas
n= posição do termo
A1=primeiro termo
An=ultimo termo
R=razão
R=20-15=5
Termo geral: An=A1+R(n-1) (n é a posição do termo)
435=15+5(n-1) ==>435-15=5n-5 ==> 415=5n // n=83
portanto, existem 83 termos nessa P.A
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da P.A. (15, 20, ..., 435), tem-se que:
a)trata-se de uma progressão aritmética (PA) finita, porque se sabe qual é o último termo, embora não se conheça a sua posição, a ordem em que ele se encontra na referida sequência;
b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 15
c)último termo (an): 15 (Chama-se último termo ou enésimo termo porque não se conhece a posição (a ordem) que ele ocupa na progressão.)
d)número de termos (n): ? (Embora não se saiba o seu valor, necessariamente se diz que será positivo e inteiro, porque não existe indicação de quantidade por meio de números negativos e de decimais.)
e)por meio da observação dos dois primeiros termos e do último da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer).
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 20 - 15 ⇒
r = 5 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o número de termos:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
435 = 15 + (n - 1) . (5) ⇒
435 = 15 + 5n - 5 ⇒
435 = 10 + 5n ⇒
435 - 10 = 5n ⇒
425 = 5n ⇒
425/5 = n ⇒
85 = n ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
n = 85
Resposta: O número de termos da P.A.(15, 20, ..., 435) é 85.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo n = 85 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o número de termos realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
435 = a₁ + (85 - 1) . (5) ⇒
435 = a₁ + (84) . (5) ⇒ (Veja a Observação 2.)
435 = a₁ + 420 ⇒
435 - 420 = a₁ ⇒
15 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 15 (Provado que n = 85.)
Observação 2: Na parte destacada, foi aplicada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam em sinal de positivo (+).
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