Question

lim x-> 3 de x²-4 x +3 /x³-27

Answer 1

Obaaaaaa Limites!

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-4x+3}{x^3-27}$
Se substituir 3 nas funções dadas vai obter uma indeterminação do tipo 0/0. 

Nesse caso você deve fatorar o numerador e o denominador. Então vamos lá:
Fatorando o numerador:
x²-4x+3 . Pode usar Bascara se quiser. Vai chegar em duas raízes:
Δ = b² - 4.a.c
Δ = (-4)² - 4 . 1 . 3
Δ = 16 - 4. 1 . 3
Δ = 4

x = (-b +- √Δ)/2a
x' = (--4 + √4)/2.1     x'' = (--4 - √4)/2.1
x' = 6 / 2                   x'' = 2 / 2
x' = 3                        x'' = 1

Agora que descobrimos as duas raízes . É só usar esse formato: 
a(x-x')(x-x'') . Que vai ficar dessa forma então:
x²-4x+3 = (x-3)(x-1)

Agora vamos fatorar o denominador 
x³-27   é o mesmo que x³-3³

Nesse caso pode usar o seguinte produto notável:
a³-3³ = (a-b)(a²+ab+b²)
sabemos que a será o x e b será 3. Logo:
x³-3³ = (x-3)(x²+3x+3²)

Agora podemos reescrever nosso limite da função:

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-4x+3}{x^3-27} \\ \\ \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x-1)}{(x-3)(x^2+3x+3^2)} \ \ \ Eliminando (x-3) temos:\\ \\ \lim_{x \to 3} \frac{(x-1)}{(x^2+3x+3^2)} \ \ \ Agora \ substitui \ 3 \ no\ lugar\ de\ x \\ \\ \lim_{x \to 3} \frac{(3-1)}{(3^2+3.3+3^2)} \\ \\ \lim_{x \to 3} \frac{2}{9+9+9} \\ \\ \lim_{x \to 3} \frac{2}{27}$

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