Question

integral por substituição_(3x²+1)³ x dx

Answer 1

É dada a seguinte integral:

$I=\displaystyle \int (3x^2+1)^3x\,dx$

Como pedido no enunciado, vamos resolvê-la pelo método da substituição. Considere uma nova variável:

$u=3x^2+1\Longrightarrow du = 3\cdot 2x\,dx\Longrightarrow \dfrac{du}{6} = x\,dx$

Usando-a na integral:

$\displaystyle I=\int (\underbrace{3x^2+1}_{u})^3\overbrace{x\,dx}^{du/6}\\\\ I=\int u^3\,\dfrac{du}{6}\\\\ I=\dfrac{1}{6}\int u^3\,du\\\\ I=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{u^{3+1}}{3+1}+C=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{u^4}{4}+C\\\\ I=\dfrac{u^4}{24}+C$

Voltando à variável original:

$I = \dfrac{(3x^2+1)^4}{24}+C\\\\\boxed{\displaystyle \int (3x^2+1)^3x\,dx = \dfrac{(3x^2+1)^4}{24}+C}$