Question

Determine as derivadas parciais de primeira ordem f(x,y)=x²+y²

Answer 1

Olá!
 
    Lembre que, paras as derivadas parciais, você foca em uma das variáveis e considera a outra como constante, e vice-versa. Temos:


$f(x,y)=x^2+y^2\\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x\;\;\;\text{e}\;\;\;\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y.$



Bons estudos!

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que as derivadas parciais de primeira ordem da referida função polinomial em termos de "x" e "y" são, respectivamente:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf f_{x}(x, y) = 2x\:\:\:}}\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf f_{y}(x, y) = 2y\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função polinomial em duas variáveis:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x, y) = x^{2} + y^{2}\end{gathered}$

Para calcular as derivadas parciais de uma função em termos de uma determinada variável devemos considerar todas as demais variáveis como constantes. Além disso, devemos levar em consideração as seguintes regras de derivação que são:

• Regra da potência:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{Se}\:f(x) = x^{n} \Longrightarrow f'(x) = n\cdot x^{n - 1}\end{gathered}$

• Regra da constante:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{Se}\:f(x) = c \Longrightarrow f'(x) = 0,\:\forall c\in\mathbb{R}\end{gathered}$

Agora podemos calcular as derivadas parciais. Então, temos:

• Calculando a derivada parcial de primeira ordem da referida função em termos de "x".

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{x}(x, y) = 2\cdot x^{2 - 1} = 2x\end{gathered}$

       Portanto:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{x}(x, y) = 2x\end{gathered}$

• Calculando a derivada parcial de primeira ordem da referida função em termos de "y".

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{y}(x, y) = 2\cdot y^{2 - 1} = 2y\end{gathered}$

        Portanto:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{y}(x, y) = 2y\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$