Question

Para que valores de x, x ∈ [0, 2π], verifica-se a desigualdade:

$\log_{\cos{x}}(1+2\cos{x})+\log_{\cos{x}}(1+\cos{x})\ \textgreater \ 1$

Verificando as condições de existência dos logaritmos obtêm-se 

$\cos{x}\ \textgreater \ 0~\wedge~\cos{x} \neq 1$

Reescrevendo a soma como um produto e 1 como log(cos(x),cos(x)), obtêm-se 

$\log_{\cos{x}}(2\cos^2{x}+3\cos{x}+1)\ \textgreater \ \log_{\cos{x}}(\cos{x})$

Sendo cos(x) > 0 e cos(x) ≠ 1  há duas possibilidades: ou 0 < cos(x) < 1 ou cos(x) > 1. O caso cos(x) > 1 não é possível visto que a imagem da função cos(x) varia de -1 a 1. Restando apenas o caso 0 < cos(x) < 1. 

A inequação torna-se

$2\cos^2{x}+3\cos{x}+1\ \textless \ \cos{x}$

A qual não possui solução.

Há algum erro no meu método. Peço que alguém não só responda a questão, como também explique por que meu método falha.

Answer 1

Olá Vinícius.

A sua resposta está certa. A desigualdade dada não possui solução real. Veja:


Resolver a inequação

     $\log_{\cos x}(1+2\cos x)+\log_{\cos x}(1+\cos x)>1$


Verificadas as condições de existência, vamos fazer uma mudança de variável:

     $\cos\,x=t$


E a inequação fica

     $\log_t(1+2t)+\log_t(1+t)>1\\\\ \log_t(1+2t)+\log_t(1+t)-1>0$


Reescreva $1=\log_t(t):$

     $\log_t(1+2t)+\log_t(1+t)-\log_t(t)>0\\\\ \log_t\!\left[\dfrac{(1+2t)(1+t)}{t}\right]>0$


Faça mudança de base:

     $\dfrac{\ln\!\left[\frac{(1+2t)(1+t)}{t}\right]}{\ln(t)}>0\qquad\quad\mathsf{(i)}$


Temos acima uma inequação-quociente. Como 0 < t < 1, segue que ln(t) é sempre negativo. Logo, para que o quociente na desigualdade (i) seja positivo, o numerador deve necessariamente ser negativo também:

     $\ln\!\left[\dfrac{(1+2t)(1+t)}{t}\right]<0$


Sabemos que a função ln é crescente, pois a base é e > 1.  Logo, o sentido da desigualdade se mantém para os logaritmandos.

Reescreva o zero do lado direito como ln(1):

     $\ln\!\left[\dfrac{(1+2t)(1+t)}{t}\right]<\ln(1)\\\\\\ \dfrac{(1+2t)(1+t)}{t}<1$


Devemos reescrever a desigualdade como uma inequação-quociente novamente:

     $\dfrac{(1+2t)(1+t)}{t}-1<0\\\\\\ \dfrac{(1+2t)(1+t)}{t}-\dfrac{t}{t}<0\\\\\\ \dfrac{(1+2t)(1+t)-t}{t}<0\\\\\\ \dfrac{1+\diagup\!\!\!\! t+2t+2t^2-\diagup\!\!\!\! t}{t}<0\\\\\\ \dfrac{1+2t+2t^2}{t}<0\qquad\quad\mathsf{(ii)}$


Analisemos os sinais do numerador e do denominador na desigualdade (ii) acima. Como 0 < t < 1, concluímos que

     •  o numerador é a soma de três números positivos, logo é positivo;

     •  o denominador é o próprio t, que também é positivo.


Então, o quociente nunca resultará em um número negativo, de modo que a inequação (ii) não possui solução real.


Conjunto solução:  $\mathsf{S=\varnothing.}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)