Question

Considere o vetor V = (5,−3, √2). Seja W um vetor de norma igual a √3 e que forma um angulo de $\frac{ \pi }{6}$ rad com o vetor V . Calcule o valor do seguinte produto escalar: (4V − W).(W − 3V ).

Answer 1

Desenvolvendo o produto escalar que queremos calcular:

$(4V-W)\cdot(W-3V)\!=\!4V\cdot W+4V\cdot(-3V)-W\cdot W+(-W)\cdot(-3V)\\\\ (4V-W)\cdot(W-3V)=4V\cdot W-12\underbrace{V\cdot V}_{||V||^2}-\underbrace{W\cdot W}_{||W||^2}+3W\cdot V\\\\ (4V-W)\cdot(W-3V)=7V\cdot W-12||V||^2-||W||^2$

Calculando separadamente cada termo:

$\bullet~||V||=||(5,\,-3,\,\sqrt2)||\\\\ ||V|| = \sqrt{5^2+(-3)^2+(\sqrt2)^2}\\\\ ||V|| = \sqrt{25+9+2}=\sqrt{36}\\\\ \boxed{||V|| = 6}\\\\\\ \bullet~\boxed{||W||=\sqrt{3}}~\leftarrow~\text{Pelo enunciado}\\\\\\ \bullet~V\cdot W = ||V||||W||\cos(\theta)\\\\ V\cdot W = 6\cdot\sqrt3\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\\\\ V\cdot W = 6\cdot\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\\\\ \boxed{V\cdot W = 9}$

Onde θ é o ângulo dado entre V e W. Substituindo na expressão do produto escalar que queremos:

$(4V-W)\cdot(W-3V)=7V\cdot W-12||V||^2-||W||^2\\\\ (4V-W)\cdot(W-3V)=7\cdot9-12\cdot6^2-(\sqrt{3})^2\\\\ (4V-W)\cdot(W-3V)=63-12\cdot36-9\\\\\ \boxed{\boxed{(4V-W)\cdot(W-3V)=-378}}$

Ou seja, o resultado é -378.