Question

1) Dados P (X,2), A (4, -2), B (2, -8). Calcule X de modo que o ponto P seja equidistante dos pontos A e B.

Answer 1

P deve ter a mesma distância entre A e B.

Logo:

Pela fórmula da distância entre dois pontos e pela igualdade das distâncias entre AP e PB, temos:

distância de A até P = distância de P até B

dAP = dPB

|AP| = |PB|

$\sqrt{(xP - xA)^{2} + (yP - yA)^{2}} = \sqrt{(xB - xP)^{2} + (yB - yP)^{2}} \\ \\ \sqrt{(x - 4)^{2} + (2 - (-2))^{2}} = \sqrt{(2 - x)^{2} + (-8 - 2)^{2}} \\ \\ \sqrt{x^{2} - 8x + 16 + (2 + 2)^{2}} = \sqrt{4 - 4x + x^{2} + (-10)^{2}} \\ \\ \sqrt{x^{2} - 8x + 16 + (4)^{2}} = \sqrt{4 - 4x + x^{2} + 100} \\ \\ \sqrt{x^{2} - 8x + 16 + 16} = \sqrt{x^{2} - 4x + 4 + 100} \\ \\ \sqrt{x^{2} - 8x + 32} = \sqrt{x^{2} - 4x + 104}$


Elevando os dois lados ao quadrado, para eliminarmos os radicais, ficamos com:

$(\sqrt{x^{2} - 8x + 32})^{2} = (\sqrt{x^{2} - 4x + 104} )^{2}$

x² - 8x + 32 = x² - 4x + 104

Resolvendo:

x² - 8x + 32 - x² + 4x - 104 = 0
x² - x² - 8x + 4x + 32 - 104 = 0
-4x - 72 = 0
-4x = 72  . (-1)
4x = -72
x = -72/4

x = -18

Answer 2

Olá
Resoluçao:
                 
$dPA= \sqrt{ (4-x)^{2}+( -2-2)^{2} } \\ \\ dPB= \sqrt{ (2-x)^{2} +( -8-2)^{2} }$

agora vamos igualar assim:
Distancia: dPA=dPB

$\sqrt{ (4-x)^{2}+( -2-2)^{2} } = \sqrt{ (2-x)^{2}+( -8-2)^{2} } ..cortando ..raiz..temos \\ \\ (4-x)^{2} +( -4)^{2} = (2-x)^{2} +( -10)^{2} \\ 16-8x+ x^{2} +16=4-4x+ x^{2} +100....cortamos ( x^{2} ) \\ 32-8x=104-4x \\ -8x+4x=104-32 \\ -4x=72 \\ x= \frac{72}{-4} \\ x=-18 ....pronto$

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                                               Espero ter ajudado!!