Question

Determine a área da região hachurada, que é a região delimitada por um hexágono regular obtida pela intersecção das regiões delimitadas por dois triângulos equiláteros inscritos na circunferência cuja área é de 3π cm2. Assinale a alternativa correta.

Answer 1

As alternativas são:

$a) \frac{3 \sqrt{3} }{2}$
$b)3 \sqrt{3}$
$c)2 \sqrt{6}$
$d) \frac{4 \sqrt{3} }{3}$

Como a área da circunferência é igual a 3π cm², então o raio é igual a:

3π = πr²
r² = 3
$r= \sqrt{3}$

Considere que o lado do triângulo equilátero inscrito seja l.

Logo, pela Lei dos Cossenos, temos que:

$l^2=( \sqrt{3})^2+( \sqrt{3})^2-2. \sqrt{3} . \sqrt{3} cos(120)$
$l^2=3+3-2.3.(- \frac{1}{2} )$
$l^2=6+3$
$l^2=9$
l = 3

Assim, o lado do hexágono mede $\frac{3}{3} = 1$

Como a área do hexágono é igual a 6 vezes a área do triângulo equilátero, então:

$A_H=6. \frac{l_h^2 \sqrt{3} }{4} = 6. \frac{1^2 \sqrt{3} }{4} = \frac{3 \sqrt{3} }{2}$ cm²

Portanto, a alternativa correta é a letra a)