Question

Um trecho de estrada de rodagem, contido em uma planície, passa sob três viadutos. Um levantamento topográfico mostrou que, com boa aproximação, a planície pode ser representada pelo plano π: 5x+4y+20z−20 = 0 e que cada viaduto tem seu ponto mais baixo em uma das retas r1: (x, y, z) = (5+4t, 6, 3−t), r2: (x, y, z) = (3, 3+5t, 4−t) e r3: (x, y, z) = (2+4t, 6+5t, 4−2t) (a unidade de medida adotada é o metro). Admitindo que as medições de altura estão sujeitas a erros de até 3%, para mais ou para menos, determine qual altura máxima dos veículos deve ser indicada nas placas sinalizadoras da estrada. Dica: Considere que as retas (r1, r2 e r3) são paralelas ao plano π, portanto d(r, π) é a distância de um ponto qualquer de r ao plano

Answer 1

Vamos calcular a distância de cada reta ao plano. Para isso, vamos pegar um ponto de cada reta e calcular a distância até o plano.

Na reta r1 podemos utilizar o ponto P1=(5,6,3).
Na reta r2, podemos utilizar o ponto P2=(3,3,4).
Na reta r3, podemos utilizar o ponto P3=(2,6,4).

Lembrando que a distância de um ponto ao plano é calculada pela fórmula:

$d(P_0, \pi )= \frac{|ax_0+vy_0+cz_0+d|}{ \sqrt{a^2+b^2+c^2} }$

Como π: 5x + 4y + 20z - 20 = 0 , então temos que a = 5, b = 4, c = 20 e d = -20.

Daí:

$d(P1, \pi )= \frac{|5.5+4.6+20.3-20|}{ \sqrt{5^2+4^2+20^2} }$
$d(P1, \pi )= \frac{|89|}{ \sqrt{441} }$
d(P1,π) ≈ 4,2 m

$d(P2, \pi )= \frac{|5.3+4.3+20.4-20|}{ \sqrt{5^2+4^2+20^2} }$
$d(P2, \pi )= \frac{|87|}{ \sqrt{441} }$
d(P2,π) ≈ 4,1 m

$d(P3, \pi )= \frac{|5.2+4.6+20.4-20|}{ \sqrt{5^2+4^2+20^2} }$
$d(P3, \pi )= \frac{|94|}{ \sqrt{441} }$
d(P3,π) ≈ 4,5 m

Portanto, podemos concluir que a altura máxima dos veículos deve ser de 4,0 metros.