Question

Determine a mediana MG no triângulo EFG, E(2;-6),F(-4;2) e G(0;4) :

Answer 1

A mediana do lado FG chamaremos de M1, do lado EG chamaremos de M2 e do lado FE de M3.
M1 = (F + G)/2
M1 = [(-4;2) + (0;4)]/2
M1 = (-4;6)/2
M1 = (-2;3)
Essas são as coordenadas de M1. 

M2 = (E + G)/2
M2 = [(2;-6) + (0;4)]/2
M2 = (2;-2)/2
M2 = (1;-1)
Essas são as coordenas de M2. 

M3 = (F + E)/2
M3 = [(-4;2) + (2;-6)]/2
M3 = (-1;-2)
Essas são as coordenadas de M3.

A mediana de um triângulo é o ponto onde se encontram as retas que ligam um vértice do triângulo à mediana do lado oposto a esse vértice. Sabemos que há 3 retas, pois há 3 vértices e 3 lados. Se descobrirmos as equações paramétricas de cada uma dessas retas e, sabendo que o ponto onde as 3 retas se encontram é o ponto chamado mediana do triângulo, podemos encontrar as coordenadas desse ponto.

Para determinar as equações paramétricas de uma reta, precisamos determinar um vertor diretor da reta e um ponto conhecido dessa reta.

A reta determinada pelos pontos M1 e E tem vetor diretor M1E e um ponto conhecido dessa reta é M1 (ou E). Assim:
M1E = E - M1 = (2;-6) - (-2;3) = (4;-9)
E (-2;3)
x = x1 + at, onde x é um ponto qualquer da reta, x1 é a abcissa de um ponto conhecido da reta e a é o valor de x do vetor diretor da reta.
x = -2 + 4t

y = y1 + bt, , onde y é um ponto qualquer da reta, y1 é a ordenada de um ponto conhecido da reta e b é o valor de y do vetor diretor da reta.
y = 3 - 9t

A reta determinada pelos pontos M2 e F tem vetor diretor M2F e um ponto conhecido dessa reta é M2 (ou F). Assim:

M2F = F - M2 = (-4;2) - (1;-1) = (-5;3)
M2(1;-1)

x = x1 + at
x = 1 - 5t

y = x1 + bt
y = -1 + 3t

A reta determinada pelos pontos M3 e G tem vetor diretor M3G e um ponto conhecido dessa reta é M3 (ou G). Assim:

M3G = G - M3 = (0;4) - (-1;-2) = (1;6)
M3(-1;-2)

x = x1 + at
x = -1 + t

y = y1 + bt
y = -2 + 6t

Sabe-se que o ponto de encontro entre as três retas é quando o x e o y das três retas são iguais, portanto:

-2 + 4t = 1 - 5t
t = 1/3

Substituindo nas equações para x e y encontradas:

x = -2/3   y = 0

Assim, a mediana do triângulo se encontra no ponto M (-2/3; 0).