Question

Resolver o seguinte sistema:

$\left\{\begin{matrix} 2^{2(x^2-y)}=100\cdot5^{2(y-x^2)}\\\hspace{-63}x+y=5 \end{matrix}\right.$

Answer 1

Propriedades de logaritmo utilizadas na resolução:

$\bullet\,\,\log_{a}a=1\hspace{134pt}\big[\log10=\log_{10}10=1\big]\\\\\bullet\,\,\log_{b}a^{n}=n\cdot\log_{b}a\hspace{97pt}\big[\log a^{n}=n\cdot\log a\big]\\\\\bullet\,\,\log_{b}(x\cdot y)=\log_{b}x+\log_{b}y\hspace{60pt}\big[\log(x\cdot y)=\log x+\log y\big]$
_______________________________

$\begin{cases}2^{2(x^{2}-y)}=100\cdot5^{2(y-x^{2})}\\x+y=5\end{cases}$

Aplicando logaritmo (base 10) na primeira equação:

$\log2^{2(x^{2}-y)}=\log\big[100\cdot5^{2(y-x^{2})}\big]\\\\2(x^{2}-y)\cdot\log2=\log100+\log5^{2(y-x^{2})}\\\\2(x^{2}-y)\cdot\log2=\log10^{2}+2(y-x^{2})\cdot\log5\\\\2(x^{2}-y)\cdot\log2=2\cdot\log10+2(y-x^{2})\cdot\log5\\\\2(x^{2}-y)\cdot\log2=2+2(y-x^{2})\cdot\log5$

Dividindo todos os membros por 2 (equivale a tirar raiz quadrada dos dois lados da primeira equação):

$(x^{2}-y)\cdot\log2=1+(y-x^{2})\cdot\log5\\\\x^{2}\log2-y\log2=1+y\log5-x^{2}\log5\\\\x^{2}\log2+x^{2}\log5-y\log2-y\log5=1\\\\x^{2}(\log2+\log5)-y(\log2+\log5)=1$

Como $\log2+\log5=\log(2\cdot5)=\log10=1$, obtemos

$x^{2}-y=1$

Então, resolver o sistema dado equivale a resolver o sistema abaixo

$\begin{cases}x^{2}-y=1\\x+y\,\,\,=5\end{cases}$

Da primeira equação desse sistema, tiramos que $y=x^{2}-1$

Substituindo na segunda:

$x+y=5\\\\x+(x^{2}-1)=5\\\\x^{2}+x-1=5\\\\x^{2}+x-1-5=0\\\\x^{2}+x-6=0$

Podemos achar as raízes dessa equação quadrática via soma e produto.

A soma e produto das raízes de x² + x - 6 = 0 são, respectivamente,

$\mathbf{S}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{1}{1}=-1\hspace{50pt}~\mathbf{P}=\dfrac{c}{a}=-\dfrac{(-6)}{1}=6$

Os dois números que quando somados dão -1 e quando multiplicados dão 6 são -3 e 2. Portanto, esses são os dois valores possíveis para x.

Se x = - 3, então

$x+y=5\\\\y=5-x\\\\y=5-(-3)\\\\y=5+3\\\\y=8$

Agora, se x = 2, então

$y=5-x\\\\y=5-2\\\\y=3$

Portanto, o sistema possui duas soluções, e elas são (2,3) e (-3,8).