Question

Por quê x²<10 => -√10 < x < √10 ?

Answer 1

Resolver a inequação:

     $\mathsf{x^2<10}\\\\ \mathsf{x^2-10<0}\\\\ \mathsf{x^2-(\sqrt{10})^2<0}$


Do lado esquerdo temos uma diferença entre quadrados. Podemos fatorar usando produtos notáveis:

     $\mathsf{(x+\sqrt{10})(x-\sqrt{10})<0}$


Acima temos uma inequação produto. Devemos estudar os sinais dos fatores.

As raízes do lado esquerdo são

     $\begin{array}{rcl} \mathsf{x_1+\sqrt{10}=0}&\quad\mathsf{e}\quad&\mathsf{x_2-\sqrt{10}=0}\\\\ \mathsf{x_1=-\sqrt{10}}&\quad\mathsf{e}\quad&\mathsf{x_2=\sqrt{10}} \end{array}$


Montando o quadro de sinais:

     $\begin{array}{cl} \mathsf{x-\sqrt{10}}&\qquad\overset{---------------}{\textsf{---------}\!\!\!\!\!\!\underset{-\sqrt{10}}{\bullet}\!\!\!\!\!\!\textsf{------------------}}\!\!\!\!\underset{\sqrt{10}}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\!\!\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}\\\\ \mathsf{x-\sqrt{10}}&\qquad\overset{----}{\textsf{---------}}\!\!\!\!\!\!\underset{-\sqrt{10}}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\!\!\!\!\overset{+++++++++++++++}{\textsf{------------------}\!\!\!\!\underset{\sqrt{10}}{\bullet}\!\!\!\!\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}\\\\\\ \mathsf{(x-\sqrt{10})(x+\sqrt{10})}&\qquad\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\!\!\!\!\underset{-\sqrt{10}}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\!\!\!\!\overset{---------}{\textsf{------------------}}\!\!\!\!\underset{\sqrt{10}}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\!\!\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array} \end{array}$


Como queremos que o produto seja negativo, o intervalo de interesse é

     $\mathsf{-\sqrt{10}<x<\sqrt{10}.}$


Outra forma:

     $\mathsf{x^2<10}\\\\ \mathsf{x^2-10<0}$


O gráfico da função quadrática  $\mathsf{f(x)=x^2-10}$  é uma parábola concavidade voltada para cima, cujas raízes são

     $\mathsf{x_1=-\sqrt{10}\qquad e\qquad x_2=\sqrt{10}}$


A função tem valor negativo justamente no intervalo em que a parábola fica abaixo do eixo x. Isso acontece quando

     $\mathsf{-\sqrt{10}<x<\sqrt{10}.}$


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Bons estudos! :-)