Question

calcule o domínio e a imagem de f(x)=√-3x+27+1 e a expressão da sua função inversa.

Answer 1

A função é $f(x)= \sqrt{-3x+27}+1$

Começaremos pelo domínio:

A restrição está na raiz quadrada. Tudo que está dentro da raiz tem que ser maior ou igual a 0, ou seja,

-3x + 27 ≥ 0
-3x ≥ -27
3x ≤ 27
x ≤ 9

Portanto, o domínio de f é (-∞,9].

Observe que dentro da raiz só teremos resultados positivos. Como temos o 1 somando, então a imagem de f será [1,∞)

Agora, vamos calcular a função inversa. Para isso, temos que isolar o x:

$y = \sqrt{-3x+27}+1$
$y-1= \sqrt{-3x+27}$
$(y-1)^2=-3x+27$
$y^2-2y+1=-3x+27$
$y^2-2y-26=-3x$
$x= \frac{-y^2+2y+26}{3}$

Por fim, basta trocar o x pelo y e o y pelo x. 

Assim, a função inversa é:

$y= \frac{-x^2+2x+26}{3}$