Sejam A e B dois eventos. Seja P(A)= 0,4 P(A U B)=0,7. Seja P(B)= p
a) Para que o valor de p , A e B serão mutuamente excludentes?
b) Para que o valor de p , A e B serão independentes?
Respostas
(a) Se A e B s˜ao mutuamente exclusivos ent˜ao P(A ∩ B) = 0. Logo,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − 0 ⇒ p = P(B) = P(A ∪ B) − P(A) = 0, 7 − 0, 4 = 0, 3
(b) Agora, se A e B s˜ao independentes ent˜ao P(A ∩ B) = P(A)P(B). Logo,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A)P(B) ⇒ p(1 − 0, 4) = 0, 7 − 0, 4 ⇒ p =
0, 3
0, 6
= 0, 5.
2. (a) Seja X o n´umero de pessoas que chegam ao evento por minuto. Ent˜ao X ∼ P oi(5).
P(X ≤ 2) = p(0) + p(1) + p(2)
=
e
−55
0
0! +
e
−55
1
1! +
e
−55
2
2!
= 0, 0067 + 0, 0337 + 0, 0842
= 0, 1246.
(b) Seja Y o n´umero de pessoas que chegam ao evento em 2 minutos. Ent˜ao Y ∼ P oi(10).
P(Y = 3) = pY (3) = e
−10103
3! =
4, 5 × 10−2
6
= 0, 0075.
3. Seja a vari´avel aleat´oria X: “posi¸c˜ao do sat´elite lan¸cado em rela¸c˜ao ao eixo”, segundo enunciados
X ∼ N(0, 4).
(a) P(|X| > 6, 6) = P
|Z| >
6, 6
4
= P(|Z| > 1, 65) = 2(1 − 0, 95) = 0, 10.
(b) Seja a vari´avel aleat´oria Y : “n´umero de sucessos em 5 lan¸camentos independentes de sat´elites.”
Como P(sucesso) = 1 − P(fracasso) = 1 − 0, 1 = 0, 9, temos que Y ∼ Bin(5; 0, 9). Portanto,
P(Y = 3) =
5
3
0, 9
3
0, 1
2 = 0, 0729.
4. (a) P(X = 2|Y = 1) = P(X = 2, Y = 1)
P(Y = 1) =
0, 15
0, 20 + 0, 15 + 0, 15 + 0, 10
=
0, 15
0, 60
= 0, 25.
(b) N˜ao s˜ao independentes, pois h´a ao menos um par (x, y) no qual p(x, y) 6= pX(x)pY (y). Por
exemplo, p(0, 0) = 0, 15 6= 0, 14 = pX(0)pY (0).
5. (a) Seja Xi o n´umero de pe¸cas com defeito em um lote. Assim, Xi ∼ Bin(2500; 0, 10), para
i = 1, 2, . . . , 100, e, portanto,
E(Xi) = 2500 × 0, 10 = 250
V ar(Xi) = 2500 × 0, 10 × 0, 90 = 225.
Seja Yi o valor da indeniza¸c˜ao por lote (em reais). Ent˜ao Yi = 0, 2 Xi, para i = 1, 2, . . . , 100,
e, portanto,
E(Yi) = 0, 2E(Xi)
= 0, 2 × 250 = 50
V ar(Yi) = 0, 2
2 V ar(Xi)
= 0, 04 × 225 = 9.
Usando os conceitos da teoria dos conjuntos, chega-se em:
Letra a) P(B) = p = 0,3
Letra b) P(B) = p = 0,5
Este exercício trabalha com alguns conceitos sobre conjuntos numéricos.
O que são eventos mutuamente excludentes?
Primeiramente é necessário saber que dois eventos ou conjuntos são mutuamente excludentes quando eles não podem ocorrer simultaneamente, ou seja: P(A ∩ B) = 0
O que são eventos independentes?
Além disso, eventos independentes, além de não dependerem um do outro, como o nome já diz, pela teoria dos conjuntos são eventos em que P(A ∩ B) = P(A)*P(B)
A partir desses conceitos os cálculos podem ser feitos:
Letra a)
Para os eventos serem mutuamente excludentes, tem-se P(A ∩ B) = 0, logo:
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
P(A U B) = P(A) + P(B) - 0
0,7 = 0,4 + P(B)
P(B) = 0,7 - 0,4
P(B) = 0,3
Letra b)
Como na letra b o enuciado diz que os eventos devem ser independentes, tem-se que:
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A)*P(B)
0,7 = 0,4 + P(B) - 0,4P(B)
(1 - 0,4)P(B) = 0,7 - 0,4
0,6P(B) = 0,3
P(B) = 0,3/0,6
P(B) = 0,5
Portanto, fazendo os cálculos dos conjuntos numéricos, chega-se em:
letra a) P(B) = 0,3
letra b) P(B) = 0,5
Para conhecer mais sobre a teoria dos conjuntos numéricos, acesse:
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