Question

Se sen x= 2 quintos ,qunto vale cós?

Quanto vale tg x =?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Keyla, que a resolução é simples. Você apenas se esqueceu de informar a que quadrante pertence o arco "x". Mas mesmo assim, vamos tentar dar a resolução de forma bem passo a passo para um melhor entendimento.

i) São pedidos os valores de cos(x) e de tan(x), sabendo-se que sen(x) = 2/5.
Agora note: o seno só é positivo no 1º quadrante e no 2º quadrante. No 3º quadrante e no 4º quadrante o seno é negativo. E o cosseno só é positivo no 1º quadrante e no 4º quadrante. No 2º quadrante e no 3º quadrante o cosseno é negativo.

ii) Então vamos fazer o seguinte: vamos considerar que o seno e o cosseno sejam positivos, já que o seno dado é positivo [sen(x) = 2/5]. Como o seno dado é igual a "2/5", então vamos considerar que o arco "x" seja do 1º quadrante, local em que tanto o seno como o cosseno são positivos.

iii) Vamos aplicar a primeira relação fundamental da trigonometria, segundo a qual temos isto:

sen²(x) + cos²(x) = 1 ---- substituindo-se sen(x) por "2/5", teremos:
(2/5)² + cos²(x) = 1 ----- desenvolvendo o quadrado teremos:
4/25 + cos²(x) = 1 --- passando "4/25" para o 2º membro, temos:
cos²(x) = 1 - 4/25 ----- mmc, no 2º membro é igual a 25". Assim, utilizando-o, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador):

cos²(x) = (25*1 - 1*4)/25
cos²(x) = (25 - 4)/25
cos²(x) = (21)/25
cos²(x) = 21/25 ----- isolando cos(x) teremos:
cos(x) = ± √(21/25) ---- ou, o que dá no mesmo:
cos(x) = ± √(21) / √(25) ---- como √(25) = 5, teremos:
cos(x) = ± √(21) / 5 ---- mas como estamos considerando que o arco "x" é do primeiro quadrante, então vamos considerar o cosseno positivo. Logo:

cos(x) = √(21) / 5 <--- Este é o valor pedido do cos(x). Ou seja, este é o valor do cos(x) considerando-se que o arco "x" é do primeiro quadrante.

iv) Agora vamos encontrar o valor da tangente. Veja que:

tan(x) = sen(x) / cos(x) ---- substituindo-se sen(x) e cos(x) por seus valores, teremos:

tan(x) = (2/5) / (√(21)/5) ---- veja: divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda:

tan(x) = (2/5)*(5/√(21)) ---- efetuando este produto, teremos:
tan(x) = 2*5 / 5*√(21) ---- simplificando-se "5" do numerador com "5" do denominador, iremos ficar apenas com?

tan(x) =2 / √(21) ---- para racionalizar, vamos multiplicar numerador e denominador por √(21). Assim, teremos;

tan(x) = 2*√(21) / √(21)*√(21)
tan(x) = 2√(21) / √(21*21)
tan(x) = 2√(21) / √(21²) ----- como, no denominador, o "21" está ao quadrado, então ele sai de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos:

tan(x) = 2√(21) / 21 <--- Este é o valor da tan(x). Ou seja, este será o valor da tan(x) considerando que o arco "x" é do primeiro quadrante.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.