Question

O ponto (x, 2x) é equidistante dos pontos (3,0) e (-7,0) qual o valor de x?

Answer 1

De acordo com o enunciado podemos construir a seguinte equação:

(x-3)² + (2x-0)² = (x+7)² + (2x-0)²
(x+7)² - (x-3)² = 0
(x+7-(x-3))(x+7+x-3) = 0
10(2x+4) = 0
x = -2.

Answer 2

Ola!

De acordo com o enunciado acima podemos notar que:

• O ponto P (x, 2x) é $\textbf{equidistante} ^1$ dos pontos $A(3,0) \: e \: B(-7,0)$.

• Portanto, primeiro calcule a distância dos pontos P a A:

$d_{(P,A)} ^2 = (x_A - x_P )^2 + (y_A - y_P)^2 \\ d_{(P,A)} ^2 = (3-x)^2 + (0-2x)^2 \\ d_{(P,A)} ^2 = x^2 -6x + 9 + 4x^2 \\ d_{(P,A)} ^2 = 5x^2 -6x + 9$

• Em seguida, calcule a distância dos pontos P e B:
$d_{(P,B)} ^2 = (x_B - x_P )^2 + (y_B - y_P)^2 \\ d_{(P,B)} ^2 = (-7 - x)^2 + (0-2x)^2 \\ d_{(P,B)} ^2 = x^2 +14x + 49 + 4x^2 \\ d_{(P,B)} ^2 = 5x^2 +14x + 49$

Logo, se o ponto é equidistante as rectas:
$\sqrt{ d_{(P,A)} ^2 } = \sqrt{ d_{(P,B)} ^2 } \\ d_{(P,A)} = d_{(P,B)} \\ 5x^2 -6x + 9 = 5x^2 +14x + 49 \\ \cancel{5x^2} - 5\cancel{5x^2} -6x -14x = 49 -9 \\ -20x = 40 \\ x = - \frac{40}{20} \\ x = -2$

• 1 - $\textbf{equidistante} ^1$ mesma medida.

Boa interpretação!!!