Question

Para calcular o limite L = limit as x rightwards arrow infinity of space fraction numerator negative s e n x over denominator x end fraction os argumentos podem ser desenvolvidos usando as desigualdades 0 less or equal than open vertical bar fraction numerator s e n space x over denominator x end fraction close vertical bar less or equal than 1 over x , válidas para todo x real x > 0.

a partir desses argumentos, conclui-se que L é igual a:

Answer 1

Reescrevendo a questão:

"Para calcular o limite $L= \lim_{x \to \infty} - \frac{sen(x)}{x}$, os argumentos podem ser desenvolvidos usando as desigualdades $0 \leq | \frac{sen(x)}{x}| \leq \frac{1}{x}$ válidas para todo real x > 0.
A partir desses argumentos, conclui-se que L é igual a:

a) -1  b)0  c)1  d)∞  e)-∞"

A questão pede para calcularmos o limite L através do argumento dado.

Então, podemos utilizar o Teorema do Confronto para calcular o valor de L.

Como  $0 \leq | \frac{sen(x)}{x}| \leq \frac{1}{x}$, então

$\lim_{x \to \infty} 0 \leq \lim_{x \to \infty} | \frac{sen(x)}{x}| \leq \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$

Como $\lim_{x \to \infty} 0=0$ e $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} =0$, então,

$0 \leq \lim_{x \to \infty} | \frac{sen(x)}{x}| \leq 0$

ou seja, pelo Teorema do Confronto, $\lim_{x \to \infty} | \frac{sen(x)}{x}| = 0$

Como $| \frac{sen(x)}{x}| = - \frac{sen(x)}{x}$ se f(x) < 0, então podemos concluir que:

$L = \lim_{x \to \infty} -\frac{sen(x)}{x} = 0$

Alternativa correta: letra b)