Question

(Ufes) Um fabricante de bonés opera a um custo
fixo de R$1.200,00 por mês (correspondente a
aluguel, seguro e prestações de máquinas). O custo
variável por boné é de R$2,00. Atualmente são
comercializadas 1.000 unidades mensalmente, a um
preço unitário de R$5,00.
Devido à concorrência no mercado, será necessário
haver uma redução de 30% no preço unitário de
venda.
Para manter seu lucro mensal, de quanto deverá ser
o aumento na quantidade vendida?

Answer 1

Olá, Hcp51.

Inicialmente, o fabricante operava com custo C(x) = 1.200 + 2x.
Atualmente, com o preço de venda a R$ 5,00, a receita é R(x) = 5x.
O lucro, portanto, em 1.000 unidades, é de L(1000) = R(1000) - C(1000) =
= 5.000 - (1.200 + 2.000) = R$ 1.800,00
Com a redução de 30% no preço unitário, a receita passará a ser de:
R'(x) = (1 - 0,3) × 5x = 0,7 × 5x = 3,5x.
Não houve mudança nos custos.
Assim, para que o novo lucro L'(x) se mantenha igual ao anterior, de R$ 1.800,00, deveremos ter:
L'(x) = 1.800 ⇒ R'(x) - C(x) = 1.800 ⇒ 3,5x - (1.200 + 2x) = 1.800 ⇒
1,5x = 1.800 + 1.200 ⇒ x = 3.000 ÷ 1,5 ⇒ x = 2.000 unidades
Isso significa, portanto, um acréscimo de 2.000 - 1.000 = 1.000 unidades.

Answer 2

O aumento na quantidade vendida deverá ser de 1000 bonés.

Inicialmente, vamos determinar o lucro atual do fabricante de bonés. O lucro será a diferença entre a receita e o custo de produção. A receita é resultado do produto entre a quantidade de bonés comercializadas e o preço unitário, enquanto os custos são divididos em uma parcela fixa e outra dependente dos bonés vendidos.

$R=5\times 1000=5000\\ C=1200+2\times 1000=3200\\ \\ L=5000-3200=1800$

Agora, veja que o preço unitário terá uma redução de 30% e seu preço passará a ser 70% do valor original, ou seja, R$3,50. Vamos utilizar esse valor e montar uma expressão, onde X é o número de unidades vendidas, na qual a receita é 1800 reais superior aos custos. Portanto:

$3,50x-(1200+2x)=1800\\ \\ 1,5x=3000\\ \\ x=2000$

Por fim, note que a pergunta pede qual deve ser o aumento na quantidade vendida. Uma vez que, atualmente, vende-se 1000 bonés, o aumento deve ser de 1000 bonés.

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