Question

As frações parciais integrais são estudadas pelo método onde o integrando é uma fração de polinômios e de dificuldade maior para integrar. O método de frações parciais consiste em decompor a fração do integrando em frações parciais. Nesse método, a fração do integrando é reescrita em soma de frações mais simples e que são mais fáceis de integrar. A decomposição é feita pela fatoração do polinômio do denominador.
Utilizando o método de frações parciais, calcule:

Answer 1

Vamos encontrar as constantes A,B e C e integrar a nova função.

$\mathsf{\dfrac{x+3}{{x}^{3}+2{x}^{2}}=\dfrac{x+3}{{x}^{2}(x+2)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{{x}^{2}}+\dfrac{C}{x+2}}\\\mathsf{\dfrac{x+3=Ax(x+2)+B(x+2)+C{x}^{2}}{{x}^{2}(x+2)}}$

$\mathsf{x+3=A{x}^{2}+2Ax+Bx+2B+C{x}^{2}}\\\mathsf{x+3=(A+C){x}^{2}+(2A+B)x+2B}$

$\underline{\textsf{Pela~identidade~~polinomial:}}$

$\begin{cases}\mathsf{A+C=0}\\\mathsf{2A+B=1}\\\mathsf{2B=3}\end{cases}$

$\mathsf{2B=3\to~B=\dfrac{3}{2}}\\\mathsf{2A+\dfrac{3}{2}=1\times(2)}\\\mathsf{4A+3=2}\\\mathsf{4A=2-3}$

$\mathsf{4A=-1\to~A=-\dfrac{1}{4}}\\\mathsf{C=-A=\dfrac{1}{4}}$

Então

$\displaystyle\mathsf{\int \dfrac{x+3}{{x}^{3}+2{x}^{2}}dx}=\\\displaystyle\mathsf{\dfrac{1}{4}\int\dfrac{dx}{x}} +\mathsf{\dfrac{3}{2}\int\dfrac{dx}{{x}^{2}}}-\mathsf{\dfrac{1}{4}\int\dfrac{dx}{x+2}}$

integrando a função temos

$\displaystyle\mathsf{\int \dfrac{x+3}{{x}^{3}+2{x}^{2}}dx=}\\\mathsf{\dfrac{1}{4}ln|x|}-\mathsf{\dfrac{3}{2x}}-\mathsf{\dfrac{1}{4}ln|x+2|+k}$